Einleitung in die höhere Geometrie, I und II. Vorlesung gehalten im W. S. 1892/3 und S. S. 1893. Ausgearbeitet von F. Schilling. (Q1525832)

Die Vorlesung charakterisirt sich, kurz gesagt, als eine dem modernen Standpunkt entsprechende Ausführung des sogenannten Erlanger Programms des Herrn Klein: ``Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen'', Erlangen 1872 (siehe JFM 04.0229.01). Die verschiedenen Gebiete, wie projective Geometrie, Flächentheorie, Invariantentheorie, Functionentheorie, Differentialgleichungen, Zahlentheorie u. s. w. sind in gleicher Weise in ihrer Wechselbeziehung zu einander herangezogen worden, wobei stets die Frage in den Vordergrund trat, in wie weit geometrische Anschauungen hier zur Geltung kommen. Der grossen Fülle des Stoffes gemäss sind die einzelnen Teile oft nur referirend berührt. Doch ist stets auf die bezügliche Litteratur verwiesen, zugleich sind Vorteile und Nachteile der einzelnen Lehrbücher besprochen und über frühere Mathematiker Hauptdaten ihrer Entwickelung eingeflochten. Der Eigenart der Vorlesung entsprechend, müssen wir uns beschränken, in grossen Zügen von dem Inhalte derselben zu berichten, ohne auf die zahlreichen Einzelheiten eingehen zu können. Die ``erste Vorlesung'' behandelt den ``allgemeinen Coordinatenbegriff und die Lehre von den Transformationen''. Nach Vorbemerkungen über Grundbegriffe der Functionentheorie, die insbesondere die Differentialgeometrie der Geometrie der algebraischen Gebilde gegenüberzustellen verlangen, werden zunächst die verschiedenen Arten der Punktcoordinaten besprochen (Möbius, Plücker, Clebsch, Lamé). Von krummlinigen Coordinaten sind insbesondere die elliptischen und pentasphärischen Coordinaten erwähnt. Erstere geben Anlass, Henrici's bewegliches Hyperboloid, die geodätischen Linien auf dem Ellipsoid (Jacobi), Staude's Fadenconstruction des Ellipsoids zu erwähnen, letztere Steiner's Kreistheorie, das Princip der reciproken Radien (Peaucellier's Geradführung), Dupin'sche Cykliden. Die durch eine Gleichung zwischen den Coordinaten zweier Punkte vermittelte Beziehung giebt sodann Gelegenheit, auf die Polarentheorie der Kegelschnitte (Brianchon) und das Nullsystem mit seiner Anwendung in der Kinematik (Ball), Mechanik und graphischen Statik einzugehen. Weiter reiht sich noch eine vorläufige Betrachtung an, wie man sich geometrisch die Bedeutung einer Differentialgleichung, insbesondere ihre Integration klar zu machen hat (Pfaff'sches Problem). In einem folgenden Abschnitt mit der Ueberschrift ``Wechsel des Raumelementes'' wird gezeigt, wie man statt des Punktes jedes andere Gebilde als ``Raumelement'' der Coordinatenbestimmung zu Grunde legen kann (Plücker). Das erste Beispiel bilden die Ebenencoordinatcn im Raum, bezw. die Liniencoordinaten in der Ebene, dem Princip der Dualität entsprechend (ebene Curven \(4^{\text{ter}}\) Ordnung und \(4^{\text{ter}}\) Klasse). Ausführlich ist dann von der Liniengeometrie im Raume die Rede; Liniencomplexe, Liniencongruenzen und Linienflächen, insbesondere lineare, werden näher discutirt, endlich wird auch der lineare Complex selbst als Raumelement eingeführt. Die quadratische Bedingungsgleichung der Liniencoordinaten giebt zu einem Excurs über quadratische Formen überhaupt Gelegenheit. Nun drängt sich von selbst ein Vergleich der Liniengeometrie mit der Punktgeometrie der pentasphärischen Coordinaten auf, der durch Gegenüberstellung der einander entsprechenden Gebilde und der für sie geltenden Sätze näher ausgeführt wird. Sodann wird die Kugelgeometrie eingeführt, die mit der Kugel als Raumelement arbeitet. Wir haben zweierlei Kugelgeometrien zu unterscheiden, die elementare und die höhere oder Lie'sche. In den Beziehungen der ersteren kommt allein das Quadrat des Kugelradius vor, während in letztere der Radius selbst (in ungerader Potenz) eintritt. Die höhere Kugelgeometrie gestattet, wie Lie entdeckt hat, einen noch innigeren Vergleich mit der Liniengeometrie. Derselbe findet in der Gegenüberstellung von einschaligem Hyperboloid und Dupin'scher Cyklide, sowie in dem Satze, dass die Haupttangentencurven und Krümmungscurven auf den Flächen sich mit ganz analogen Formeln behandeln lassen, seinen prägnantesten Ausdruck. Des weiteren wird noch die moderne Idee, \(n\) homogene Variabeln als Punktcoordinaten in einem Raume von \(n-1\) Dimensionen zu deuten (Grassmann, Cayley), ferner die elementare Kreisgeometrie unseres gewöhnlichen Raumes (Cosserat) besprochen. Den Beschluss des ersten Teiles bildet eine erneute Darlegung der geometrischen Auffassung der Differentialgleichungen von dem jetzt erreichten Standpunkte aus (Arbeiten von Clebsch), insbesondere werden auch die Differentialgleichungen der Haupttangentencurven, Krümmungscurven, Minimalflächen u. s. w. zusammengestellt. ``Der zweite Teil'' ist der ``Lehre von den Transformationen'' gewidmet. Die lineare Punkttransformation definirt geometrisch die Verwandtschaft der Collineation (Netzconstruction von Möbius); sie giebt Gelegenheit, einmal Apparate wie den Perspectographen und Storchschnabel zu betrachten, sodann die Reliefperspective des Raumes und den Grenzfall, die malerische Perspective, in ihren Grundzügen zu entwickeln. Der Vorteil, den die Methode linearer Transformationen gewährt, gewisse Curvenarten unter gemeinsamem Gesichtspunkte zu umfassen, wird an den ebenen Curven dritter Ordnung näher studirt. Es werden sodann vier Stufen der historischen Entwickelung der projectiven Geometrie unterschieden, die wir kurz durch folgende Namen charakterisiren können: Poncelet (Doppelverhältnis), Steiner und Chasles, Laguerre und Cayley, von Staudt. In einigen Stunden der Vorlesung wurde dann die Invariantentheorie und ihre Beziehung zur projectiven Geometrie besprochen (Sylvester), ferner wurden zahlentheoretische Methoden an dem Beispiel der binären Form vierten Grades erläutert. Die weiteren Ausführungen zur projectiven Geometrie lenken die Aufmerksamkeit auf Gebilde mit linearen Transformationen in sich, insbesondere auf die sogenannten Doppelverhältnis- oder \(W\)-Curven, besprechen projective Differentialinvarianten (Halphen) und entwickeln vor allem die Lehre von den imaginären Elementen, speciell ihre Anwendung zur Definition confocaler Kegelschnitte. Der Vergleich des einschaligen Hyperboloids mit der Kugel zeigt, dass auch letztere Scharen gerader Linien, ``Minimalgeraden'' nach Lie, trägt, Ideen, die schliesslich zu den Grundzügen der Lie'schen Theorie der Minimalflächen hinführen. Die stereographische Projection der Kugel gestattet weiter, die Geometrie der reciproken Radien in der Ebene der projectiven Geometrie auf der Kugel gegenüberzustellen. Diese Gedanken werden auf höhere Räume ausgedehnt (Satz von Liouville); überhaupt wird die Frage, inwiefern das heranziehen höherer Räume ein besseres Verständnis für die geometrischen Verhältnisse im niederen Raume eröffnet, durch verschiedene Beispiele näher erläutert (Veronese). In einem letzten Abschnitt wird dann von höheren Punkttransformationen gesprochen, zunächst von allgemein analytischen, später von algebraischen. Jene kommen z. B. bei der Klassification der linearen oder Pfaff'schen Differentialausdrücke zur Geltung; quadratische Differentialausdrücke treten uns insbesondere in der Lehre von den Biegungsinvarianten einer Fläche (Gauss, Beltrami), sowie bei der Uebertragung des Krümmungsmasses auf Mannigfaltigkeiten von \(n\) Variabeln (Riemann) entgegen. Von algebraischen Transformationen sind insbesondere die Cremona-Transformationen in Ebene und Raum behandelt, auch wird ein Blick auf ihre Invariantentheorie geworfen. Der Gesichtskreis wird jetzt erweitert, indem Transformationen mit Wechsel des Raumelementes herangezogen werden. In diesem Sinne werden zunächst die linearen dualistischen Transformationen, speciell in ihrer Bedeutung für die Theorie der Differentialgleichungen, besprochen. Sodann werden die Lie'schen Flächenelemente eingeführt, so dass unser Raum eine Mannigfaltigkeit von fünf Dimensionen darstellt; zugleich wird der allgemeine Begriff der ``Berührungstransformation'' entwickelt. Als unmittelbare Folge ergiebt sich, dass die gewöhnlichen Gebilde des Raumes: Punkt, Curve und Fläche, jetzt gleichwertig neben einander stehen. Von dem nunmehr erreichten erweiterten Standpunkte aus wird nochmals ein Rückblick auf die Beziehung der höheren Kugelgeometrie zur Liniengeometrie geworfen. Als wesentlicher Grund für diese Analogie wird erkannt, dass beiden eine Gruppe von 15-fach unendlich vielen Transformationen zu Grunde liegt; es ist eine bestimmte Berührungstransformation, welche jene Geometrien in einander überzuführen gestattet. Ausführlich wird besprochen, in wie fern die höhere Kugelgeometrie darauf hinauskommt, die Kugeln des \(R_3\) als Abbild der Punkte einer im \(R_5\) gelegenen Fläche zweiten Grades aufzufassen und letztere in gewöhnlichem projectiven Sinne zu studiren. Des weiteren wird gezeigt, in welcher Weise Hr. Lie seine Betrachtungen mit der Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung mit drei Variabeln in Verbindung gebracht hat. Den Schluss der Vorlesung bildet ein Capitel über die allgemeine analytische Theorie der Berührungstransformationen, sowie über ihre Anwendung in verschiedenen Beispielen, wie bei der Herstellung von Fusspunktcurven für gegebene Curven, die Construction von Zahnrädern etc. ``Die zweite Vorlesung'' behandelt im Zusammenhange die Gruppentheorie. In einer ``Einleitung'' wird allgemein der Gruppenbegriff definirt und seine Bedeutung in der Theorie der algebraischen Gleichungen, der Analysis und Zahlentheorie, besonders aber in der Geometrie erwähnt. Sodann werden unter Anführung von Beispielen zahlreiche Begriffsbestimmungen gegeben, von denen die Unterscheidung der continuirlichen und discontinuirlichen Gruppen vor allem zu nennen ist. An den einzelnen aus der ersten Vorlesung her bekannten Geometrien wird ferner der Grundgedanke des Erlanger Programms erläutert, in wie fern nämlich die geometrischen Transformationsgruppen sich besonders eignen, einen systematischen Ueberblick über jene zu gewähren. Der ``erste Teil'' der Vorlesung entwickelt dann nach Lie die ``Theorie der continuirlichen Gruppen;'' der Kürze der Zeit wegen konnte jedoch nur auf endliche Gruppen im Lie'schen Sinne eingegangen werden. Zunächst wird in einem Excurs von der Theorie der linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung gesprochen und das Problem ihrer Integration geometrisch mit Hülfe der ``Charakteristiken'' der einzelnen Gleichung erläutert. Diese Gedanken hängen dann in so fern mit der Lie'schen Gruppentheorie zusammen, als diese die linke Seite der einzelnen Differentialgleichung als Symbol einer bestimmten infinitesimalen Transformation erkennt. Es wird dann gezeigt, wie sich aus einzelnen solchen infinitesimalen Transformationen endliche Transformationen und mehrgliedrige Gruppen gewinnen lassen, wobei der sogenannte ``Klammerausdruck'' eine hervorragende Rolle spielt. So gilt der fundamentale Satz: Bilden \(r\) infinitesimale Transformationen eine Gruppe, so stellen sich die einzelnen Klammerausdrücke als lineare Verbindungen der ersteren dar, und umgekehrt. Nach Ableitung einiger Sätze über die Anzahl der Gruppentypen unter gegebenen Bedingungen wird dann zu speciellen Untersuchungen übergegangen. Es werden zunächst für eine Variable alle projectiven Transformationsgruppen genannt; sodann wird gezeigt, dass die Zahl \(r\) der Parameter in einer endlichen Transformationsgruppe einer Veränderlichen überhaupt nicht grösser als drei sein kann. In analoger Weise wird auch für zwei Variabeln eine Reihe von Sätzen über allgemeine Gruppen abgeleitet und eine vollständige Tabelle aller projectiven Gruppen gegeben (nach Franz Meyer). Schliesslich werden noch Betrachtungen wie der allgemeinerer Natur hinzugefügt; diese beziehen sich erstens auf die ``Zusammensetzung'' der Gruppe, d. h. auf die Constanten der linearen Ausdrücke, welche die Klammerausdrücke als Functionen der gegebenen infinitesimalen Transformationen darstellen, zweitens auf die ``Zerlegung'' der Gruppe, d. h. auf Reihen auf einander folgender umfassendster ausgezeichneter Untergruppen. Von den bisherigen Betrachtungen über continuirliche endliche Transformationsgruppen werden dann Anwendungen auf folgende fünf Disciplinen gemacht: 1) die gewöhnliche Invariantentheorie, 2) die Theorie der complexen Zahlen aus \(n\) Haupteinheiten (Grassmann, Hamilton), 3) das Helmholtz'sche Raumproblem, betreffend die Grundlagen der Geometrie, 4) die Theorie der Differentialinvarianten, 5) die Integration von Differentialgleichungen (Picard, Vessiot). Der ``zweite Teil'' der Vorlesung beschäftigt sich mit den ``discontinuirlichen Gruppen''. Es sind eigentlich und uneigentlich discontinuirliche Gruppen zu unterscheiden, je nachdem nämlich die äquivalenten Elemente durch endliche Intervalle getrennt sind oder ``überall dicht'' liegen. In dieser Hinsicht gilt der Satz: Jede uneigentlich discontinuirliche Gruppe wird eigentlich discontinuirlich, wenn man in einen zweckmässig gewählten höheren Raum aufsteigt. Zunächst wird dann die ``Hauptgruppe'' der räumlichen Transformationen, d. h. die Gruppe aller Bewegungen, sowohl für die Ebene als für den Raum betrachtet; insbesondere sind die einzelnen in der Hauptgruppe enthaltenen eigentlich discontinuirlichen Untergruppen aufgezählt (C. Jordan). Für diese wird auch stets der geometrische ``Fundamentalbereich'' angegeben. Letzterer ist allgemein als ein solcher Raumteil definirt, dass jeder Punkt des Raumes in dem Bereiche einen äquivalenten Punkt besitzt, andererseits aber keine zwei Punkte des Bereiches selbst äquivalent sind. Die discontinuirlichen Bewegungsgruppen des Raumes führen ferner zu der systematischen Entwickelung der Krystallstructur (Sohncke und Schönflies). Sodann wird zu der Gruppe der projectiven sowie der homogenen linearen Transformationen übergegangen. Vor allem wird die Frage nach ``endlichen'' discontinuirlichen Gruppen einer oder mehrerer Variabeln erörtert, wobei die Theorie der regulären Körper gute Dienste leistet. In betreff unendlicher discontinuirlicher Gruppen wird vor allem auf die zahlentheoretischen Gruppen unimodularer Substitutionen hingewiesen, wobei es wieder zu untersuchen gilt, welche Untergruppen in der einzelnen von ihnen enthalten sind. Den Schluss der Vorlesung bildet die Besprechung der allgemeinen discontinuirlichen Gruppen, wie sie in der modernen Functionentheorie, insbesondere von Poincaré, behandelt sind.