Das Zerfallen der Curven in gerade Linien. (Q1525919)

Aus der Joachimsthal'schen Gleichung für die Schnittpunkte einer Geraden \(g\) mit einer ebenen algebraischen Curve \(f\) \(n^{\text{ter}}\) Ordnung lässt sich die Bedingung entnehmen, dass die Gerade ein Teil von \(f\) ist. Nimmt man an, dass \(f\) selbst ein Aggregat von \(n\) Geraden sei, so erhält die gemeinte Bedingung eine specifische Form. Durch Umrechnung gelangt man von hier zu dem Kriterium des Zerfallens einer beliebigen Curve \(f\) in lauter Gerade. In symbolischer Schreibart lautet dieses von Hrn. Brill herrührende Kriterium \((apu)^n=0\), wenn \(f=a_x^n\) und \(p=p_y^n\) eine mit \(f\) covariant verknüpfte Form ist. Der Zweck der vorliegenden Untersuchung ist, zu zeigen, dass die Ueberschiebung \((apu)^n\) noch durch \(a_x^2\) teilbar ist, und diese Division wirklich auszuführen. Erst dann ergiebt sich das fragliche Kriterium in der einfachsten Gestalt. Die Uebertragung auf Curven und Flächen in höheren Räumen geht ohne weiteres vor sich.