Notiz, die Serret'schen Formeln betreffend. (Q1526121)

Es wird gefragt, ob in Serret's Differentialformeln für die Richtungscosinus der Tangente \(T\), der Hauptnormale \(N\) und der Binormale \(L\) einer Curve die Lage der \(T\), \(N\), \(L\) mit der Lage der \(x\), \(y\), \(z\) übereinstimmt, ausgedrückt durch die Determinante der neun Richtungscosinus \(=+1\). Diese wird durch Substitution aus einer der Formeln transformirt und so als Kriterium aufgestellt. Der Verfasser giebt keine absolute Entscheidung seiner Frage. In der That folgt aus der Gleichung nur, was vorausgesetzt ist; denn das Vorzeichen der eingesetzten Reihe hängt erst von der gebrauchten Formel ab und wird nur bestimmt, wenn man festsetzt, ob die Contingenzwinkel \(d\sigma\) der Tangente und \(d\tau\) der Krümmungsaxe gleiches oder ungleiches Vorzeichen haben sollen. Gerade hierin aber, worauf der Verfasser nicht eingeht, liegt die Abweichung der Serret'schen Formeln von der früheren, auf Monge sich stützenden Curventheorie. Diese gab \(d\sigma\), \(d\tau\) formell entgegengesetztes Vorzeichen, entsprechend einer Rotation von \(TL\) um \(N\), wobei die genannte Determinante ihr Zeichen bewahrt. Serret giebt \(d\sigma\), \(d\tau\) formell gleiches Vorzeichen, entsprechend einer Vertauschbarkeit von \(T\) und \(L\), wobei die Determinante \((TNL)\) ihr Vorzeichen nur bewahren kann, wenn man der Hauptnormale sich umzukehren gestattet.