Sur quelques surfaces avec plusieurs modes de génération. (Q1526146)

Das interessante Problem, ``alle Flächen zu finden, welche durch Translationsbewegung zweier Curven \(c\) und \(c'\) erzeugt werden können, wobei \(c'\) mit keiner Trajectorie der Punkte von \(c\), oder umgekehrt, zusammenfällt'', ist bereits, wie der Autor mitteilt, von Herrn S. Lie durch Anwendung Abel'scher Integrale, die sich auf die Schnittpunkte einer Curve vierter Ordnung mit einer beliebigen Geraden beziehen, vollständig gelöst, aber noch nicht veröffentlicht. Statt die Gruppe dieser Translationen zu betrachten, kann man die Gruppe eines Systems \((e_1,e_2,e_3)\) von complexen Zahlen ins Auge fassen, in welchem \(e_i^2=e_i\), \(e_ie_k=0\) \((i\neq k)\) ist. Die an Stelle der Translationen tretenden Transformationen dieser neuen Gruppe sind dann die Multiplicationen durch gewisse Zahlen des Systems. Durch Verallgemeinerung dieser Betrachtung ergiebt sich das folgende Problem: ``Es sei ein System complexer Zahlen \((e_1,e_2,\dots,e_n)\) gegeben, man soll \(2n\) Curven \(c_1\), \(c_2\), ..., \(c_n\); \(\gamma_1\), \(\gamma_2\), ..., \(\gamma_n\) des Systems in dem Raume von \(n\) Dimensionen von folgender Eigenschaft finden: Wenn man irgend welche \(n\) Punkte bezüglich auf den \(n\) Curven \(c_1\), \(c_2\), ..., \(c_n\), d. h. \(n\) Zahlen \(a_1\), \(a_2\), ..., \(a_n\) herausgreift, so muss es immer \(n\) Punkte \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), ..., \(\alpha_n\) auf den \(n\) Curven \(\gamma_1\), \(\gamma_2\), ..., \(\gamma_n\) geben, die so beschaffen sind, dass das Product \(a_1\), \(a_2\), ..., \(a_n\) gleich dem Product \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), ..., \(\alpha_n\) ist''. Der Autor zeigt nun zunächst, dass dieses Problem für jedes continuirliche System bereits durch Sätze des Herrn Lie gelöst ist, und giebt dann eine Lösung für nicht continuirliche Systeme, im Falle \(n=3\) ist.