Zusatz zu der vorstehenden Arbeit des Herrn P. Stäckel. (Q1526152)

Der bekannte Gauss'sche Satz, dass bei der Biegung das Krümmungsmass constant bleibt, darf im allgemeinen nicht umgekehrt werden, sondern nur bei Flächen von constantem Krümmungsmass. Es fehlte bisher aber an durchgeführten Beispielen, die diese Thatsache erkennen lassen. Herr Stäckel (siehe JFM 25.1182.01) wählt die Umdrehungsflächen: \[ \begin{aligned} x &= r\left(a + b \int\frac{ds}{r^2}\right)\cos\varphi,\\ y &= r\left(a + b \int\frac{ds}{r^2}\right)\sin\varphi,\\ z &= \sqrt{1 - \left[\frac{dr}{ds}\left(a + b \int\frac{ds}{r^2}\right) + \frac br\right]^2}ds,\end{aligned} \] wo \(r\) eine gegebene Function von \(s\) ist. Ihr Krümmungsmass ist \(K=-\frac1r \frac{d^2r}{ds^2}\). Es zeigt sich in der That, dass sie nur dann auf einander abwickelbar sind, wenn \(k\) constant ist. Herr Wangerin fügt diesem Beispiel ein anderes bei. Er betrachtet die Schraubenfläche: \[ x = r\cos\varphi,\quad y = r\sin\varphi,\quad z = f(r) + m\varphi \] und die Umdrehungsfläche: \[ \xi = \varrho\cos\psi,\quad \eta = \varrho\sin\varphi,\quad \zeta = F(\varrho). \] Er drückt dann die Bedingung aus, dass für \(r=\varrho\), \(\varphi=\psi\) das Krümmungsmass \(k\) übereinstimmt, und zeigt, dass, wenn \(k\) nicht oonstant ist, die Flächen nicht auf einander abwickelbar sind, da die Bogen der Parallelkreise der Umdrehungsfläche den entsprechenden Bogen der Schraubenfläche nicht gleich sind.