Ueber die Abwickelung von Flächen constanten Krümmungsmasses sowie einiger anderer Flächen auf einander. (Q1526183)

Es ist bekannt, dass zwei Flächen mit gleichem constanten Krümmungsmass sich auf einander abwickeln lassen. Aber die endliche Darstellung einer solchen Abwickelung (Biegung) ist bisher nur in wenigen Fällen gelungen, z. B. bei Umdrehungsflächen mit constantem positiven Krümmungsmass. Ist dagegen das Krümmungsmass negativ, so werden die bisher angewandten Methoden sehr verwickelt, und sie sind auch in dem berühmten Darboux'schen Werke (Leçons sur la théorie des surfaces, Paris 1887-1890, JFM 19.0746.02) nicht durchgeführt. Diese Methoden erfordern nämlich die Einführung orthogonal geodätischer Parameter, also die allgemeine Kenntnis der geodätischen Linien in endlicher Darstellung. Die Methode wird noch verwickelter für Flächen constanter Krümmung, welche nicht Rotationsflächen sind, und wird unausführbar bei solchen Flächen, deren geodätische Linien man nicht kennt. Der Verfasser hat nun eine Methode zur Lösung des Problems gesucht und gefunden, welche die Kenntnis der geodätischen Linien nicht voraussetzt, und zwar ist seine Methode überraschend einfach und beruht auf folgender Ueberlegung. Man bildet die Flächen conform in der allgemeinsten Weise auf einander ab und bestimmt nachträglich die hierbei auftretenden noch willkürlichen Abbildnngsfunctionen so, dass die entsprechenden Bogenelemente gleich werden; sofern die Flächen überhaupt auf einander abwickelbar sind, muss die entstehende Functionalgleichung sich lösen lassen. Ist aber diese Abbildungsfunction gefunden, so ist das Problem gelöst. Der Verfasser wendet diese Methode zunächst auf die Umdrehungsflächen von constantem negativen Krümmungsmass an, dann auf die Abwickelung einer von Herrn Bianchi (Math. Ann. XVI, F. d. M. XII. 1880. 576, JFM 12.0576.01) angegebenen Fläche mit constanter negativen Krümmung, sodann auf gewisse andere, in derselben Abhandlung von Bianchi angegebene Flächen, welche auf die Umdrehungsfläche der verlängerten oder verkürzten Tractrix abwickelbar sind. Seine Methode führt dann zur endlichen Darstellung der geodätischen Linien dieser Flächen, die bisher nicht bekannt war. Zum Schluss leitet der Verfasser die bekannte Darstellung der Flächen constanter Krümmung in isometrischen Coordinaten durch seine Methode in sehr einfacher Weise ab. Für die Umdrehungsflächen mit constanter negativen Krümmung geschieht die Lösung im wesentlichen in folgender Weise. Sind die Coordinaten eines Punktes einer solchen Fläche \(x=r\cos v\), \(y=r\sin v\) und \(z\), so ist die Bedingung dafür, dass das Krümmungsmass constant gleich \(-\frac1{a^2}\) ist: \[ dz = \mp\sqrt{\frac{b^2-r^2}{r^2+a^2-b^2}}dr,\tag{I} \] wo \(b\) eine durch die erste vorzunehmende Integration entstehende Integrationsconstante bedeutet. Setzt man nun \[ \pm\frac{adr}{r\sqrt{r^2+a^2-b^2}} = du,\tag{II} \] so sind \(u\) und \(v\) Abbildungsparameter, und das Quadrat des Linienelementes wird: \[ ds^2 = r^2[du^2 + dv^2].\tag{III} \] Die verschiedenen Werte von \(b\) liefern die verschiedenen Formen der sämtlichen auf einander abwickelbaren Umdrehungsflächen mit dem constanten Krümmungsmass \(-\frac1{a^2}\). Ihr Meridian ist durch (I) bestimmt, also im allgemeinen durch elliptische, Integrale. Für \(b=0\) wird die Fläche imaginär, nämlich eine Kugel mit dem Radius \(ai\). Dieselbe wird in der Arbeit nicht betrachtet, weil der Verfasser nur reelle Flächen untersucht. Für \(b=a\) entsteht die sogenannte Pseudosphäre, deren Meridian sich durch andere Transcendenten ausdrückt. Bezeichnet man für diese Pseudosphäre die obigen Parameter durch \(U\) und \(V\), das Linienelement durch \(ds_1\), so folgt aus (II) und (III) \((b=a)\): \[ rU = \pm a,\text{ also }ds_1^2 = \frac{a^2}{U^2}[d(U + Vi).d(U - Vi)]. \] Man setze nun \[ (u + vi) = \xi,\; (u - vi) = \eta,\; (U + Vi) = f(\xi),\; (U - Vi) = f_1(\eta), \] so ist \[ \begin{multlined} ds_1^2 = \frac{a^2}{\left(\frac{f(\xi)+f_1(\eta)}2\right)^2} f'(\xi)f_1'(\eta)d\xi d\eta\\ = \frac{a^2}{\left(\frac{f(\xi)+f_1(\eta)}2\right)^2} f'(\xi)f_1'(\eta)(du^2 + dv^2).\end{multlined}\tag{IV} \] Die Gleichung (IV) liefert die allgemeinste Darstellung der Pseudosphäre in Abbildungsparametern. Ist \(a^2-b^2\lessgtr0\), so setzen wir \(a^2-b^2=c^2a^2\), wo \(c\) eine reelle oder eine rein imaginäre Constante bedeutet. Dann folgt aus (II) und (III): \[ \begin{aligned} r &= \frac{2c}{e^{cu}-e^{-cu}},\\ ds^2 &= \frac{c^2}{(e^{cu}-e^{-cu})^2}(du^2 + dv^2).\end{aligned} \] Setzt man nun \(ds^2=ds_1^2\), so erhält man die allgemeinste Abwickelung der allgemeinen Fläche auf die Pseudosphäre, und es entsteht als Bedingung die Functionalgleichung: \[ \frac{(f(\xi) + f_1(\eta))^2}{f'(\xi) + f_1'(\eta)} = \frac{(e^{cu}-e^{-cu})^2}{c_1^2}\tag{V} \] oder \[ 2ln(f(\xi) + f_1(\eta)) - lnf'(\xi) - lnf_1'(\eta) = 2ln(e^{cu} - e^{-cu}) - 2lnc. \] Es wird nun durch Differentiiren nach \(v\) eine Gleichung gewonnen, welche \(u\) nicht mehr explicite enthält. Multiplicirt man diese mit \(f(\xi)+f(\eta)\), und differentiirt man dann einmal nach \(\xi\) und einmal nach \(\eta\), so folgt, da \(f(\xi)+f_1(\eta)\) nicht Null sein kann: \[ \frac1{f'(\xi)}\frac d{d\xi} \left[\frac{f''(\xi)}{f'(\xi)}\right] = \frac1{f'(\eta)}\frac d{d\eta} \left[\frac{f_1''(\eta)}{f_1'(\eta)}\right]; \] also müssen beide Ausdrücke constant sein, gleich \(k\). Durch Integriren findet man dann ohne Schwierigkeit für die Abbildungsfunction und ihre conjugirte: \[ f(\xi) = A - \frac2k \frac1{\xi-B},\quad f_1(\eta) = A_1 - \frac2k \frac1{\eta-B_1}, \] und die Bestimmung der Constanten \(A\), \(B\), \(A_1\), \(B_1\) hat keine Schwierigkeit. Es wird gezeigt, dass die Constanten so bestimmt werden können, dass einem beliebigen Punkte der einen Fläche und einer beliebigen Richtung in diesem Punkte ein ebenso beliebig gewählter Punkt und eine beliebige Richtung in der anderen Fläche entsprechen, wodurch die Allgemeinheit der Lösung, die a priori feststand, bestätigt wird. Ein specielleres Eingehen auf die anderen Teile der Arbeit muss hier unterbleiben. Das Mitgeteilte wird genügen, um die ausserordentliche Einfachheit der hoch interessanten Methode des Verfassers erkennen zu lassen.