Die ein - eindeutigen Punkttransformationen der Ebene. (Q1526379)

Zwei vereinigt liegende ebene Systeme \(S\) und \(S_1\) seien auf dasselbe Parallelcoordinatensystem bezogen. Die allgemeinste Beziehung, vermöge welcher jedem Punkte \(M(x, y)\) von \(S\) ein und nur ein Punkt \(M_1(x_1, y_1)\) von \(S_1\) entspricht, und umgekehrt, ist dann durch die beiden bilinearen Gleichungen gegeben: \[ (a_{\nu1}x+b_{\nu1}y+c_{\nu1})x_1 + (a_{\nu2}x+b_{\nu2}y+c_{\nu2})y_1 +a_{\nu3}x + b_{\nu3}y + c_{\nu3} = 0 \] \[ (\nu = 1, 2). \] Jede der beiden Gleichungen, für sich betrachtet, setzt eine Dualität zwischen den beiden Systemen \(S\) und \(S_1\) fest; der gleichzeitige Bestand beider Dualitäten führt eine ein - eindeutige Punkttransformation herbei. Die invarianten Punkte dieser Transformation sind die Schnittpunkte zweier Kegelschnitte (Grundkegelschnitte der Transformation), deren Gleichungen man aus den obigen Transformationsgleichungen erhält, wenn man in ihnen \(x_1\), \(y_1\) durch \(x\), \(y\) ersetzt. In speciellen Fällen können beide Kegelschnitte in einen zusammenfallen. Sind die obigen Gleichungen symmetrisch in Bezug auf die Variabelnpaare \(x\), \(y\) und \(x_1\), \(y_1\), so ist die Transformation eine involutorische; die vorerwähnte allgemeine Dualität beider Systeme verwandelt sich dann in Polarreciprocität. In diesem Falle reichen die Grundkegelschnitte zur Bestimmung der Transformation aus, was im allgemeinen Falle nicht zutrifft. Durch die allgemeine ein-eindeutige Punkttransformation wird eine Curve \(n^{\text{ter}}\) Ordnung in eine solche \(2n^{\text{ter}}\) Ordnung übergeführt. Im allgemeinen entspricht also jeder Geraden der Ebene ein Kegelschnitt. Soll aber einer Geraden wieder eine Gerade zugeordnet sein, so müssen die beiden Grundkegelschnitte einen reellen unendlich fernen Punkt mit einander gemein haben (projective Punkttransformation). Dieser unendlich ferne Punkt ist im allgemeinen aber nicht invariant; das invariante Gebilde besteht hier aus den drei übrigen Schnittpunkten der Grundkegelschnitte und den sie verbindenden Geraden. Wenn die beiden Grundkegelschnitte in Geradenpaare zerfallen, so ergeben sich, je nach der Beschaffenheit dieser Geradenpaare, als specielie Transformationen: die Centralcollineation, die Aehnlichkeitstransformation, die Affinität und die translatorische Bewegung der Ebene in sich. Zum Schlusse untersucht der Verfasser noch die Transformationen, bei denen die imaginären Kreispunkte ungeändert bleiben; diese kennzeichnen sich als Aehnlichkeitstransformationen.