Ueber die unfreie Bewegung eines materiellen Punktes unter Berücksichtigung der Reibung. (Q1526592)

Unter Zugrundelegung der Hypothese, dass die Reibung dem Drucke proportional sei, hat man für die Bewegung eines materiellen Punktes auf fester rauher Curve oder Oberfläche noch nicht die allgemeinen Differentialgleichungen in unabhängigen Bestimmungsstücken des Punktes aufgestellt. Dies zu thun, ist der Zweck der vorliegenden Note. Zuerst (\S\ 1) werden die allgemeinen Formeln für den normalen Druck entwickelt, den der bewegte Massenpunkt auf seine Unterlage ausübt. Diese Formeln werden (\S\ 2) sodann auf den Fall einer festen Curve angewandt. Ist \(N\) der fragliche Druck, sind ferner \(x\), \(y\), \(z\) Functionen des Parameters \(\theta\), und bezeichnet man die Differentiationen nach \(\theta\) durch Accente, so erhält man unter Benutzung der üblichen Bezeichnungen: \[ \begin{split} (Ns')^2 &= (X^2 + Y^2 + Z^2)s'^2 - (Xx' + Yy' + Zz'9^2\\ &- 2mv^2\{Xx'' + Yy'' + Zz'' - \frac{s''}{s'}(Xx'+ Yy'+Zz')\}\\ &+ \frac{m^2v^4}{s'2} (x''^2 + y''^2 + z''^2).\end{split}\tag{8} \] Die Differentialgleichung der Bewegung folgt endlich in der Form: \[ \frac m2 \frac{d(v^2)}{d\theta} = Xx' + Yy' + Zz' - \alpha Ns',\tag{11} \] wo \(\alpha\) den Reibungscoefficienten bezeichnet. Indem die rechte Seite von (11) durch \(v^2\) und \(\theta\) ausgedrückt wird, gelangt man dann weiter zu dem Satze: Die Bewegung eines materiellen Punktes auf einer festen ebenen rauhen Curve lässt sich stets mittels blosser Quadraturen vollständig bestimmen, sobald auch die bewegende Kraft beständig mit der Curve in derselben Ebene bleibt. --- Der dritte Paragraph, der am Schlusse eine neue Lösung des Beispiels der Bewegung eines schweren Massenpunktes auf einer rauhen schiefen Ebene bringt, berechnet den Druck auf eine feste Fläche direct aus den Differentialgleichungen der Bewegung; doch verzichten wir der Kürze wegen auf die Mitteilung der erhaltenen Formeln. Durchweg wird vorausgesetzt, dass die gegebene bewegende Kraft nur von der Lage des Punktes abhängig und durch sie eindeutig bestimmt sei.