Sur un cas général où le problème de la rotation d'un corps solide admet des intégrales s'exprimant au moyen de fonctions uniformes. (Q1526613)

Man stelle sieh einen homogenen starren Umdrehungskörper vor, der in einem Punkte seiner Axe aufgehängt ist und von einem äusseren Punkte angezogen wird. Die Entfernung beider festen Punkte sei \(\varrho\). Hr. Gyldén bringt, wie in einer früheren Mitteilung, die Kräftefunction \(U\) in die Form: \[ U = l\int \frac{dm}{\Delta}, \] wo \(\Delta\) die Entfernung des angezogenen Massenpunktes des Körpers vom Attractionscentrum ist; diese Function wird umgestaltet zu \[ U = \frac l{\varrho} \int_{-1}^{+1} \int_0^{2\pi} \int_0^R f(\mu,\omega,r)d\mu d\omega dr, \] \[ f(\mu,\omega,r) = \frac{r^2}{\sqrt{1 - 2\frac r{\varrho}\left[\mu\cos\theta + \sqrt{1-\mu^2}.\sin\theta\cos(\varphi-\omega) + \frac{r^2}{\varrho^2}\right]}}. \] Durch Entwickelung nach Potenzen von \(\frac r{\varrho}\), gelingt die Ausführung der Integration nach \(r\), so dass man erhält: \[ U = \frac l{\varrho} \sum\frac1{(n+3)\varrho^n} \int_{-1}^{+1} \int_0^{2\pi} R^{n+3} P_n d\mu d\omega. \] Durch Beachtung der Eigenschaften der Kugelfunctionen bekommt man schliesslich: \[ U = \frac{4\pi la^3}{\varrho} \sum \frac{e_n^{(n+1)}X_n(\cos\theta)}{(n+3)(2n+1)} \left(\frac a{\varrho}\right)^n. \] Entwickelt man nach den Potenzen von \(\cos\theta\): \[ \alpha_0 + \alpha_1\cos\theta + \alpha_2\cos^2\theta+\cdots, \] so findet man \[ \alpha_1 = \frac{2lmz_0}{A\varrho^2},\quad \alpha_2 = -2\frac{l(C-A)}{A\varrho^2}. \] ``Wenn man den Coefficienten \(\alpha_2\) vernachlässigte, stiesse man auf den Lagrange'schen Fall; wenn man aber \(z_0\) gleich Null annähme, so käme man auf den Fall des Hrn. Tisserand, falls man \(l\) negativ setzte.''