Sur une application du principe des aires. (Q1526651)

Das gemeinsame Interesse der aufgezählten Noten knüpft sich an die Richtigstellung einer weit verbreiteten irrigen Auffassung des Princips der Flächen. Hr. Marcel Deprez (siehe JFM 25.1452.04) führt hierzu die folgende Stelle aus Delaunay's Mechanik an: ``Wenn wir annehmen, dass ein lebendes Wesen im Raume isolirt ist, dass keine äussere Kraft auf dasselbe einwirkt, und dass es anfänglich in Ruhe ist, so kann dieses lebende Wesen weder seinen Schwerpunkt verlegen, noch ist ihm die Möglichkeit gegeben, sich eine Drehbewegung um diesen Punkt zu erteilen''. Dieser Auffassung widerspricht aber die Thatsache, dass eine fallende Katze stets sich so dreht, dass sie auf die Füsse zu stehen kommt. Um die Bewegung der Katze während des Fallens ausser Zweifel zu stellen, hat Hr. Marey (siehe JFM 25.1452.01) eine Reihe von Momentphotographien aufgenommen, welche im Zootropen die Vorführung der Stadien der Drehbewegung in langsamer Folge gestatten, und von denen Abbildungen beigegeben sind. An diese Mitteilung schliessen sich die in derselben Sitzung der Akademie abgegebenen Erklärungen der Thatsache. Die Herren Guyou und Lévy (siehe JFM 25.1452.02 und JFM 25.1452.03) weisen auf die Möglichkeit einer Drehung um den Schwerpunkt hin, indem während der Bewegung einzelner Teile des Körpers sein Trägheitsmoment sich ändert. Das anschaulichste Beispiel hierfür hat Hr. Appell (siehe JFM 25.1452.05) in der folgenden Sitzung der Akademie und in einer Sitzung der Société mathématique de France mitgeteilt und berechnet: Auf einer homogenen Kreisscheibe mit dem Centrum \(O\), welche reibungslos auf einer Horizontalebene beweglich ist, sei \(A_0A_0'\) ein mit der Scheibe fest verbundener Durchmesser. In den Punkten \(A_0A_0'\) befinden sich auf dem Rande zwei Arbeiter von gleicher Masse \(m\), ferner in den Punkten \(C_0\), \(C'\) desselben Durchmessers in gleichem Abstande von \(O\) zwei andere Arbeiter von der Masse \(\mu\). Das ganze System sei zunächst in Ruhe. Die Arbeiter führen nun in vier Phasen folgendes Manöver aus: 1) Die Arbeiter \(m\) beginnen auf dem Rande in derselben Richtung zu gehen, bleiben dabei aber immer diametral entgegengesetzt. Nach Zurücklegung eines Viertelskreises bleiben sie stehen. Das Rad dreht sich dabei im entgegengesetzten Sinne um einen Winkel \(\alpha\) und hält dann an. 2) Die Arbeiter \(\mu\) vereinigen sich im Mittelpunkte; die Scheibe rührt sich nicht, aber das Trägheitsmoment für die Axe \(Oz\) wird kleiner. 3) Die Arbeiter \(m\) kehren in ihre Anfangslage auf dem Rade zurück; dasselbe dreht sich entgegengesetzt der ersten Rotation um einen anderen Winkel \(\beta\) und hält dann an. 4) Die Arbeiter \(\mu\) trennen sich und nehmen ihre anfänglichen Lagen auf dem Rande ein, wobei das Rad unbeweglich bleibt. Resultat: Drehung des Systems um den Winkel \(\beta-\alpha\) bei derselben relativen Lage der Teile zu Anfang und zu Ende. In der Sitzung der Soc. Math. fügt Hr. Appell die Berechnung der Winkel \(\beta\) und \(\alpha\) hinzu, verallgemeinert das Beispiel auf ähnliche Probleme und wendet die Ergebnisse auf die Erklärung der Drehbewegung fallender lebender Wesen, wie der Katzen, an. Hiernach erhellt, dass ein materielles System durch das blosse Spiel der inneren Kräfte sich um einen beliebigen Winkel um seinen Schwerpunkt drehen kann, ohne bleibende Gestaltsänderungen zu erleiden, indem alle seine Teile sich zuletzt in derselben relativen Lage befinden wie am Anfange. Hr. Marcel Deprez veranschaulicht diesen Satz durch einen zu diesem Behufe von ihm ersonnenen Apparat, der die entsprechenden von den Herren Lévy und Picard berechneten Beispiele versinnlicht. Eine Scheibe ist um eine verticale Axe beweglich; sie enthält auf zwei gegenüberliegenden Hälften zwei Kreisrinnen, in welchen zwei Kugeln laufen können. Durch elastische Federn getrieben, die durch Abbrennen von Fäden in Wirksamkeit treten, setzen sich die Kugeln in Bewegung, und das Modell dreht sich dabei um den Aufhängefaden nach einem vollen Umlaufe um einen gewissen Winkel, bei dem vorgezeigten Apparate um \(40^\circ\). Das entsprechende Problem ist von Hrn. Picard (siehe JFM 25.1452.06) wie folgt formulirt: Eine materielle Scheibe \(C\) sei um ihre verticale Axe \(O\) beweglich. Auf der Scheibe \(C\) ist eine beliebige geschlossene Curve \(\Gamma\) gezeichnet. Ein Punkt \(P\) befindet sich in einem Punkte von \(\Gamma\), und das ganze System ist anfänglich in Ruhe. Der Punkt \(P\) durchläuft den ganzen Umfang von \(\Gamma\); den Winkel zu finden, um den die Scheibe nach einem Umlaufe von \(P\) sich gedreht hat. Hr. Lecornu endlich fügt zu den durch die früheren Betrachtungen als möglich nachgewiesenen Drehungen ein neues interessantes Beispiel hinzu, bei welchem weder die äussere Form noch das Trägheitsmoment eine Aenderung erfährt. Eine in einer Ebene zu einem Ringe zusammengekrümmte Schlange bewege sich so, dass ihre einzelnen transversalen Querschnitte sich in ihrer Ebene mit gleichförmiger Winkelgeschwindigkeit drehen. Offenbar wird hierbei der Flächensatz gewahrt, und die Schlange dreht sich ohne äussere Gestaltsänderung vom Bauch auf den Rücken. Der allgemeinere Fall wird vom Verfasser in Gestalt eines Lemmas ausgesprochen.