On the stability of certain vortex motions. (Q1526679)

Der Verf. untersucht die Stabilität einer von Kirchhoff entdeckten und dann von Herrn Hill verallgemeinerten Wirbelbewegung. Bei der ersteren erfüllen die Teile der Flüssigkeit, welche sich in wirbelnder Bewegung befinden, einen rotirenden Cylinder mit elliptischem Querschnitt, die wirbelfreie Flüssigkeit den ganzen unendlichen Raum ausserhalb dieses Cylinders. In dem Hill'schen Falle ist die äussere Flüssigkeit begrenzt durch einen mit dem ersten confocalen Cylinder. Im ersteren Falle nimmt der Verf. für die Variation der Strömungsfunction die Form \[ \delta\psi' = \sum(A_m\cosh m\xi\cos m\eta + B_m\sinh m\xi\sin m\eta), \] resp. \[ \delta\psi = \sum(A_m\cosh m\xi_0e^{-m(\xi-\xi_0)}\cos m\eta + B_m\sinh m\xi_0e^{-(\xi-\xi_0)}\sin m\eta) \] und gewinnt dann für \(A_m\) und \(B_m\) die Difrerentialgleichungen: \[ \begin{aligned} \frac{dA_m}{dt} - \left(2\varphi\frac{mab}{(a+b)^2} - 2\varphi e^{-m\xi_0}\sinh m\xi_0\right)B_m &= 0,\\ \frac{dB_m}{dt} - \left(2\varphi\frac{mab}{(a+b)^2} - 2\varphi e^{-m\xi_0}\cosh m\xi_0\right)A_m &= 0,\end{aligned} \] deren particuläre Lösungen natürlich mit \(e^{int}\) proportional sind, wenn \[ n^2 = \varphi^2\left[1 + \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^m - 2\frac{mab}{(a+b)^2}\right]\left[1 - \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^m - 2\frac{mab}{(a+b)^2}\right]. \] Für \(m=2\) ist \(n=0\); für alle anderen Werte ist der Ausdruck stets positiv, wenn \(b < a < 3b\) ist. In ähnlicher Weise wird der Hill'sche Fall behandelt.