The highest waves in water. (Q1526692)

Die Forschung über die höchsten Wollen von der durch Stokes behandelten Art (Collected Papers I. 227) wird hier aufgenommen. Für Wellen im Wasser von solcher Tiefe, dass es als unendlich tief angesehen werden kann, ist das Verfahren das folgende. Die Bewegung wird dadurch stationär gemacht, dass man das gesamte Wasser vorwärts bewegt mit der rückwärtigen Geschwindigkeit \(V\) der Welle. Die Axen sind: \(x\) horizontal, \(y\) vertical abwärts in der Bewegungsebene mit dem Ursprung auf einem Wellenberge; \(\varphi\), \(\psi\) die Geschwindigkeits- und Strom-Function, \(\psi=0\) an der Oberfläche, \(\psi=\infty\) am Grunde. Wenn die Geschwindigkeit, die Neigung der Wellenlinie gegen die Horizontale an \(\varphi\) und die Krümmung an demselben Punkte bezw. \(q\), \(\theta\), \(k\) sind, dann wird, indem \(\varphi=0\), \(\varphi=\pi\) als Folgeberge angenommen werden, der Ausdruck für \(k\) in der Gestalt angesetzt: \[ q\frac{d\theta}{d\varphi} = k = q(a_0 + a_1\cos2\varphi + a_2\cos4\varphi +\cdots), \] wo \(a_1\), \(a_2\), ... im Vergleich zu \(a_0\) klein sind. Um den Zusammenhang zwischen \(\omega\) \((\equiv\varphi+i\psi)\) und \(z\) \((\equiv x+iy)\) durch die ganze Flüssigkeit zu finden, wird vermöge der angenommenen Oberflächenbedingung eine Function \(z\) bestimmt, die an der Oberfläche reell ist und nur einfache Pole in der Flüssigkeit besitzt. Diese Function kann dann stetig fortgesetzt werden bei ihrer Wanderung über die ganze Ebene \(\omega\). Es giebt also eine Function in der ganzen Ebene \(\omega\), deren Singularitäten einfache Pole sind, und deren Form niedergeschrieben werden kann. Wählt man die Einheiten so, dass \(V=1/2^{1/3}\) und daher die Wellenlänge \(L=2^{\frac13}\pi\), so ist der folgende Ausdruck eine gute Annäherung von \(d\omega/dz\): \[ \frac{d\omega}{dz} = (-i\sin\omega)^{\frac13} e^{\frac13i\omega}(1 + 0,0397 e^{2i\omega} + 0,0094 e^{4i\omega} + 0,002 e^{6i\omega}), \] und das Verhältnis der Tiefe der Welle zur Länge ist \(h/4 = 0,142\). Es folgt eine Berechnung der Form und der Geschwindigkeit der Welle. Die Gestalt von \(d\omega/dz\) für Wasser von endlicher Tiefe wird hingeschrieben.