On the evaluation of a certain surface integral, and its application to the expansion, in series, of the potential of ellipsoids. (Q1526766)

Den Ausgangspunkt für die Entwickelung des Verfassers bildet die Formel: \[ \begin{multlined} e^{\varrho\cos\vartheta} = \sum_{n=0}^\infty (2n+1) \frac{\varrho^n}{3.5\dots(2n+1)}\left\{1 + \frac{\varrho^2}{2(2n+3)}\right.\\ + \left. \frac{\varrho^4}{2.4.(2n+3)(2n+5)} +\cdots\right\} P^n(\cos\vartheta).\end{multlined}\tag{1} \] Dieselbe wird daraus hergeleitet, dass \(V = e^{ir\cos\vartheta}\) der Gleichung \(\nabla^2V+V=0\) genügt, und dass sich andererseits jedes Integral dieser Gleichung nach Kugelfunctionen von \(\cos\vartheta\) entwickeln lässt, wobei die Coefficienten Bessel'sche Functionen von \(r\) werden. Mit Benutzung von (1) ergiebt sich der Wert des über die Kugelfläche vom Radius \(R\) zu erstreckenden Integrals: \[ \iint e^{\alpha x+\beta y+\gamma z} Y_n(x, y, z)dS,\tag{2} \] worin \(Y_n\) die allgemeine Kugelfunction von der Ordnung \(n\) bezeichnet. Wenn man in dem so erhaltenen Resultat \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) durch die Operationssymbole \(\frac{\partial}{\partial x_0}\), \(\frac{\partial}{\partial y_0}\), \(\frac{\partial}{\partial z_0}\) ersetzt, so folgt: \[ \begin{multlined} \iint Y_n(x, y, z)f(x, y, z)dS = 4\pi R^{2n+2}\frac{2^nn!}{(2n+1)!} \left\{1 + \frac{R^2\nabla^2}{2.(2n+3)}\right.\\ + \left. \frac{R^4\nabla^2}{2.4.(2n+3)(2n+5)} +\cdots\right\} Y_n\left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right)f(x,y,z),\end{multlined}\tag{3} \] wo rechts nach Ausführung der symbolisch angedeuteten Operationen (\(\nabla^2\) ist die Summe der zweiten partiellen Ableitungen) \(x\), \(y\) und \(z\) gleich Null zu setzen sind. \(f\) ist nur der Beschränkung unterworfen, dass es auf der Kugelfläche continuirlich und endlich ist. Die Formel (3) wird auf verschiedene specielle Fälle angewandt, insbesondere auf den Fall \[ f(x, y, z) = \varphi(\varrho),\quad \varrho^2 = (\xi-x)^2 + (\eta-y)^2 + (\zeta-z)^2. \] Für diesen ergiebt sich: \[ \begin{multlined} \iint Y_n(x,y,z)\varphi(\varrho) dS\\ = 4\pi R^{2n+2}(-1)^n\frac{2^nn!}{(2n+1)!}\left\{1 + \frac{R^2\nabla^2}{2.(2n+3)} +\cdots\right\}.Y_n\left(\frac{\partial}{\partial \xi}, \frac{\partial}{\partial \eta}, \frac{\partial}{\partial \zeta}\right)\varphi(u),\end{multlined}\tag{4} \] wo \[ u^2 = \xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 \] ist. Multiplicirt man (4) noch mit \(\psi(R)dR\) und integrirt nach \(R\) von \(R=0\) bis \(a\), so erhält man das Potential einer Kugel von der Dichtigkeit \(\psi(R) Y_n(x, y, z)\) in Bezug auf einen äusseren Punkt, und zwar für ein beliebiges Anziehungsgesetz. Setzt man nunmehr in (3) \(R=1\), ferner \(\frac xa\), \(\frac yb\), \(\frac zc\) an Stelle von \(x\), \(y\), \(z\) und \(\frac{pdS}{abc}\) an Stelle von \(dS\), so geht das vorher über die Kugelfläche erstreckte Integral in ein solches über die Oberfläche des Ellipsoids \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\) über, wobei \(p\) das Lot vom Mittelpunkte des Ellipsoids auf die Tangentialebene des Flächenelements \(dS\) ist. Aus der Formel (4) ergiebt sich auf diese Weise die folgende: \[ \begin{multlined} \iint Y_n(\frac xa,\frac yb,\frac zc)\varphi(\varrho) pdS\\ = 4\pi abc(-1)^n\frac{2^nn!}{(2n+1)!}\left\{1 + \frac{D^2}{2(2n+3)} +\cdots\right\}.Y_n\left(a\frac{\partial}{\partial \xi}, b\frac{\partial}{\partial \eta}, c\frac{\partial}{\partial \zeta}\right)\varphi(u).\end{multlined}\tag{5} \] Darin haben \(\varrho\) und \(u\) die frühere Bedeutung, \(D^2\) bezeichnet das Operationssymbol \[ a^2\frac{\partial^2}{\partial x^2} + b^2\frac{\partial^2}{\partial y^2} + c^2\frac{\partial^2}{\partial z^2}. \] Aus (5) lässt sich, indem man ein volles Ellipsoid durch ähnliche und ähnlich liegende Ellipsoidflächen in unendlich dünne Schalen teilt und summirt, das Potential eines vollen Ellipsoids für beliebige Dichtigkeit und ein beliebiges Anziehungsgesetz ableiten. Das Resultat wird angewandt, um für specielle Fälle das Potential eines nicht homogenen Ellipsoids in eine Reihe zu entwickeln. Auch wird gezeigt, wie man zu verfahren hat, um den Grenzfall der elliptischen Scheibe zu erhalten. Die sich ergebenden Formeln bieten kaum hinreichendes Interesse dar, um hier mitgeteilt zu werden. Endlich wird noch aus der Formel (5) die Entwickelung einer harmonischen Ellipsoidfunction (d. i. eines Lamé'schen Productes) in eine nach Kugelfunctionen fortschreitende Reihe hergeleitet, ein Problem, das auf anderem Wege schon von Niven gelöst ist (cf. F. d. M. XXIII. 1891. 517, JFM 23.0517.01). Auch für ein zweidimensionales Gebiet werden Formeln, die den obigen analog sind, aufgestellt.