Theorie der Beugungserscheinungen kreisförmig begrenzter, symmetrischer, nicht sphärischer Wellen. (Q1526941)

Die Theorie der Beugungserscheinungen in Fernröhren ist durch die Arbeiten von Struve und Lommel (über letztere Arbeit vgl. F. d. M. XVI. 1884. 924, JFM 16.0924.01) für sphärische Wellen vollständig erledigt. Da aber in den optischen Instrumenten die ideale Forderung der vollständigen Beseitigung der sphärischen Aberration thatsächlich nicht erfüllt ist, so giebt die Annahme sphärischer Wellen nur eine Näherung; eine exacte Theorie muss auch der durch die sphärische Aberration veranlassten Abweichung der Wellen von der Kugelform Rechnung tragen. Die dadurch erforderliche Modification der Theorie wird in der vorliegenden Arbeit zum ersten Male entwickelt, und zwar wird für die Wellenfläche die folgende Gleichung angenommen: \[ (f-z)^2 + \varepsilon r^2 = f^2. \] Darin bedeutet \(z\) die der Axe des Fernrohrs parallele, \(r\) die zu derselben senkrechte Coordinate eines Punktes der Wellenfläche, die als Rotationsfläche mit \(z\) als Rotationsaxe angenommen wird. Ferner ist \(f\) die Vereinigungsweite der Centralstrahlen und \[ \varepsilon = 1 + \varepsilon_1\fracwithdelims()rf^2 + \varepsilon_2\fracwithdelims()rf^4 +\cdots. \] Die Summanden auf der rechten Seite der letzten Gleichung werden als erstes, zweites etc. Aberrationsglied bezeichnet. Ausserdem werden folgende Voraussetzungen zu Grunde gelegt: 1. Es soll die Stokes'sche Diffractionsformel gelten. Nach derselben bewirkt eine auf einem Elemente \(d\omega\) vorhandene Verschiebung von der Form \(g(bt)\) am Ende des (gegen die Wellenlänge grossen) Radiusvectors \(D\) eine Verschiebung, die auf \(D\) senkrecht steht, in der durch \(D\) und die Verschiebungsrichtung von \(d\omega\) gelegten Ebene liegt und die Grösse hat: \[ \frac{d\omega}{4\pi D} g'(bt-D)(1+\cos\vartheta)\sin\eta; \] \(\vartheta\) und \(\eta\) bezeichnen die Winkel zwischen \(D\) einerseits und der Wellennormale, resp. der Verschiebungsrichtung in \(d\omega\) andererseits. 2. Der Vibrationszustand soll ein solcher sein, dass er im Grenzfall der Kugel dynamisch möglich ist. Die Amplitude eines Punktes der Wellenfläche wird zu diesem Zwecke dem Abstand desselben von der durch den Vereinigungspunkt der Centralstrahlen gelegten, zur \(\eta\)-Axe Parallelen proportional sein. 3. Die Welle soll nur wenig von der Kugelgestalt abweichen und die Neigung der Elementarstrahlen gegen die Wellennormale klein sein. Dazu ist u. a. erforderlich, dass \[ (\varepsilon-1)\fracwithdelims()rf^2 < \frac{2\lambda}f \] ist, falls \(\lambda\) die Wellenlänge bezeichnet. 4. Die Betrachtung soll auf die Untersuchung der der Axe nahen Punkte derjenigen Ebenen beschränkt werden, die der Bildebene der Strahlen der verschiedenen Zonen nahe liegen. Auf Grund dieser Voraussetzungen werden die Verschiebungen, welche die einzelnen Elemente einer Wellenfläche in einem Bildpunkte erzeugen, berechnet und nach bekannten Regeln zusammengesetzt. Dadurch ergiebt sich für die Intensität in einem Bildpunkte der Ausdruck: \[ \frac{\pi^2}4\left(\frac{AR^2}{2D_0\lambda}\right)^2 \left\{X_1^2 + X_2^2 + \fracwithdelims()Rf^2 (Z_1^2+Z_2^2)\right\}. \] Darin ist \(R\) der Radius der kreisförmigen Begrenzung der Wellen (der Radius der Fernrohröffnung), \(A\) ist die Amplitude der Vibrationsgeschwindigkeit der Symmetrieaxe, \(D_0\) ist ein Mittelwert für die Entfernung eines Punktes der Wellenfläche von einem Bildpunkte; endlich bezeichnen \(X_1\), ..., \(Z_2\) die folgenden Integrale: \[ \begin{aligned} \left.{X_1\atop X_2}\right\} &= \frac1{\pi}\iint sdsd\varphi{\cos\atop\sin} \left\{ls\cos(\varphi-\chi) + k_0(s^2-1) + \frac{k_1}4(s^4-1) + \frac{k_2}6(s^6-1) +\cdots\right\},\\ \left.{Z_1\atop Z_2}\right\} &= \frac1{\pi}\iint s^2dsd\varphi\cos\varphi\cdot \left\{1 + \frac12\fracwithdelims()Rf^2s^2 + \frac38\fracwithdelims()Rf^4s^4 +\cdots\right\} \cdot {\cos\atop\sin}\{ls\cos(\varphi-\chi) +\cdots\},\end{aligned} \] wobei die Constanten \(k_1\), \(k_2\), ... resp. von \(\varepsilon_1\), \(\varepsilon_2\), ... abhängen. Die in diesen Fundamentalformeln auftretenden Integrale werden nun, unter Benutzung einer Reihe bekannter Formeln über Bessel'sche Functionen, weiter entwickelt und in eine zur numerischen Rechnung geeignete Gestalt gebracht; und zwar wird eine dreifache Entwickelung aufgestellt: 1) eine solche, die für grössere Abstände von der Symmetrieaxe der Welle gilt, 2) zwei andere für Punkte in der Nähe jener Axe. Hinsichtlich der Einzelheiten dieser Entwickelungen muss auf die Arbeit selbst verwiesen werden. Da die resultirende Intensitätsformel von den Grössen \(l\), \(k_0\), \(k_1\), \(k_2\) abhängt, die ihrerseits Functionen der Oeffnung, der Brennweite, der Entfernung des Bildpunktes von der Axe, von der Focalebene der Centralstrahlen und schliesslich der Aberrationsglieder sind, so lassen sich Untersuchungen bezüglich ausgezeichneter Punkte der Intensität nach sehr verschiedenen Richtungen machen. Allgemeinere Schlüsse aus den Formeln für die Maxima und Minima der Intensität zu ziehen, dürfte, wie der Verfasser selbst bemerkt, bei der Complicirtheit der vorkommenden Ausdrücke ziemlich schwierig sein. Die Bedeutung der entwickelten Formeln dürfte vor allem in ihrer Anwendung auf numerische Rechnungen liegen.