Lectures on number theory. Edited and supplements added by R. Dedekind. Fourth rewritten and augmented edition. (Q1527047)

Schon allein der Umstand, dass ein Lehrbuch über eine schwierige Disciplin der höheren Mathematik in verhältnismässig kurzer Zeit eine 4. Auflage erlebt, ist so ungewöhnlich, dass das Buch sich besonderer Vorzüge erfreuen muss. Es würde somit kaum ein Anlass vorliegen, auf die neue Ausgabe des Werkes näher einzugehen (um so mehr, als der Kern desselben nebst den ersten zehn Supplementen keine wesentlichen Aenderungen aufzuweisen hat), wäre nicht gerade das umfangreiche elfte Supplement, bekanntlich die Schöpfung des Herausgebers, etwa in seiner ersten grundlegenden Hälfte völlig umgearbeitet worden. Es handelt sich um die allgemeine Theorie der algebraischen Zahlen, deren Fundamente, die Theorie der Körper, der Moduln und der Ideale, auf weit allgemeinere Grundlagen gestellt werden, als vordem. Man könnte fast behaupten, dass ein höherer Grad der Allgemeinheit nicht gut denkbar ist; will aber der Leser dieselbe voll geniessen, so wird er gut thun, sich mit der früheren, mehr concreten Behandlung der 3. Auflage zuvor völlig vertraut zu machen. Bekanntlich führt die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen ihren Ursprung zurück auf Gauss, der bei der Untersuchung der biquadratischen Reste erkannte, dass einfache und durchsichtige Gesetze erst bei systematischer Berücksichtigung der ganzen complexen Zahlen \(a+ib\) zu Stande kommen. In der That lässt sich die gewöhnliche Teilbarkeitslehre in allem Wesentlichen auf die neuen Zahlen ausdehnen. Jede ganze Zahl \(a+ib\) ist Wurzel einer ganzzahligen Gleichung von der Form \(\vartheta^2+a_1\vartheta+a_2=0\), und es lag daher nahe, die Frage aufzuwerfen, ob es denn nicht überhaupt für die Gesamtheit aller ganzen algebraischen Zahlen, d.h. solcher, die irgend einer ganzzahligen Gleichung \[ f(\vartheta) = \vartheta^n + a_1\vartheta^{n-1} + a_2\vartheta^{n-2} +\cdots+ a_n = 0 \] genügen, eine gemeinsame Teilbarkeitslehre giebt. Bei näherer Untersuchung zeigte sich indessen, dass das nicht möglich ist, und der Grund ist der, dass sich fundamentale Begriffe der elementaren Zahlentheorie, wie Primzahl, relativ prime Zahlen u. a. in dem höheren Gebiete spalten. Beispielsweise ist die Eigenschaft einer Zahl \(p\), nur durch sich selbst und die Einheit teilbar zu sein, wohl zu trennen von der anderen, dass ein Product von zwei, durch \(p\) nicht teilbaren Zahlen gleichfalls durch \(p\) unteilbar ist. Man beschränkte sich daher auf ein solches Gebiet ganzer Zahlen, die aus einer (irreducibeln) festen Gleichung \(f(\vartheta)=0\) ähnlich hervorgehen, wie die ganzen Zahlen \(a+ib\) aus der Gleichung \(\vartheta^2+1=0\). Hierbei ist indessen einige Vorsicht erforderlich. Man gehe nämlich zuvörderst von einer (irreducibeln) Gleichung \(f(\vartheta)=0\) mit rational gebrochenen Coefficienten aus: eine Wurzel \(\vartheta\) derselben heisst eine ``gebrochene algebraische'' Zahl. Durch wiederholte Anwendung der vier Species auf \(\vartheta\) entsteht ein ``endlicher Körper \(R(\vartheta)\) \(n^{\text{ten}}\) Grades''; je \(n+1\) seiner Zahlen sind durch eine lineare Relation mit rationalen Coefficienten mit einander verbunden. Ist nun \(\omega\) eine ganze Zahl des Körpers, so ist es auch \(h_\omega=h_0+h_1\omega+h_2\omega^2+\cdots+h_{n-1}\omega^{n-1}\), wo die \(h\) ganz rational sind, aber es ist sehr wichtig, wie Dedekind zuerst bewies dass nicht immer jede ganze Zahl des Körpers in die Gestalt gebracht werden kann. Dahingegen lassen sich stets \(n\) ganze Zahlen des Körpers \(\omega_0\), \(\omega_1\), ..., \(\omega_{n-1}\) als ``Basis'' so auswählen, dass die Linearform \(\mathfrak o=h_0\omega_0+h_1\omega_1+\cdots+h_{n-1}\omega_{n-1}\) bei variablen \(h\) jede ganze Zahl von \(R(\vartheta)\) (und zwar jede nur einmal) darstellt. Das Gebiet \(\mathfrak o\) ordnet sich so unter den allgemeineren Begriff eines ``Moduls'' unter, d. i. eines Systems von Zahlen überhaupt, das sich durch Addition und Subtraction reproducirt, und zwar im besonderen wiederum unter den Begriff eines ``endlichen'' Moduls mit einer ``Basis'' von \(n\) Grössen \(w\). Dem Gebiete \(\mathfrak o\) kommt aber noch die specifische Eigenschaft zu, sich durch Multiplication mit den ganzen Zahlen des Körpers zu reproduciren, und heisst darum ein ``Ideal'' des Körpers. Es ist leicht zu sehen, dass im Gebiete \(\mathfrak o\), dem ``Hauptideal'', noch unendlich viele andere Ideale enthalten sind. Jedes System ganzer Zahlen des Körpers, die durch eine feste ganze Zahl \(\alpha\) desselben teilbar sind, ist ein Ideal; wo das nicht der Fall ist, könnte man mit Kummer einen ``Idealfactor'' \(\alpha\) einführen; es ist aber umgekehrt zweckmässiger, mit den Idealen selbst zu rechnen. In der That lassen sich nun die Teilbarkeitsgesetze an die Ideale unmittelbar anknüpfend und so die Ausdehnung der elementaren Zahlentheorie in breitestem Umfange durchführen. Jedes Ideal des Körpers ist auf eine, und nur eine, Art als Product von ``Primidealen'' darstellbar u. s. f. Der Kernpunkt liegt in dem Satze: ``Wenn ein Ideal \(\mathfrak n\) in einem anderen \(\mathfrak m\) enthalten ist, so giebt es stets ein und nur ein drittes Ideal \(\mathfrak p\) derart, dass \(\mathfrak m=\mathfrak n\mathfrak p\)'', d. h. dass durch Multiplication der Zahlen von \(\mathfrak m\) mit denen von \(\mathfrak n\) sämtliche Zahlen von \(\mathfrak p\) entstehen. Dieser Fundamentalsatz nimmt in der neuen Auflage seine naturgemässe Stellung am Anfange der Idealtheorie ein. Es wird dies eben dadurch ermöglicht, dass die Theorie der Moduln an der Hand einer einfachen Symbolik tiefer durchforscht wird, wodurch sie, nebenher bemerkt, in engere Beziehung zu gewissen Partien des Logikcalcüls tritt. Als die Hauptaufgabe der Modulntheorie erscheint hier die genaue Festlegung des Verhältnisses zwischen den beiden Begriffen des Enthaltenseins und des Productes resp. Divisors. Eine noch wesentlichere Umgestaltung hat die Grundlage des Ganzen erfahren, nämlich die Lehre von den Körpern algebraischer Zahlen, als Specialfall der Körperlehre überhaupt. Insbesondere wird die eindeutige Abbildung von Körpern auf einander von Wichtigkeit, und da wiederum eine solche Abbildung, bei der alle rationalen Beziehungen zwischen den Elementen des Körpers erhalten bleiben. Ein endlicher Körper ist dann ein solcher, der nur eine endliche Anzahl von Unterkörpern besitzt: ihm gehört ein ``Grad'' \(n\) zu, insofern je \(n+1\) seiner Elemente durch eine lineare Relation mit rationalen Coefficienten verknüpft sind. So gelangt man von dem allgemeinsten Körperbegriff aus durch stufenweises Herabsteigen zu den endlichen Körpern algebraischer Zahlen zurück; die wesentlichen Hülfsbegriffe, wie Grad, Norm Discriminante, u. s. f. erscheinen in invarianter Form, d. h. unabhängig von jeder speciellen Darstellung auf Grund einer vorgelegten Gleichung \(f(\vartheta)=0\). Damit geht Hand in Hand, dass die Beweisführung sich nur allgemeiner Schlüsse bedient, und der Rechnung nahezu ganz entbehrt.