A certain class of generating functions in the theory of numbers. (Q1527060)

Die Theorie der ``Composition'' der Zahlen ist eine Erweiterung der Euler'schen ``Partition'' der Zahlen. ``Compositionen sind bloss Partitionen, in denen die Ordnung des Vorkommens der Teile wesentlich ist; während also die Partitionen der Zahl 3 (3), (21), (111) sind, sind die Compositionen (3), (21), (12), (111)''. Der Verf. (siehe auch JFM 25.0258.01) lehrt die Bildung der Compositionen, findet die bezüglichen Anzahlen und zeigt, wie man graphische Bilder dieser Zahlen herstellen kann. \S\ 1. Unipartite Zahlen. \S\ 2. Multipartite Zahlen (Zahlen, die \(\alpha+\beta+\gamma+\cdots\) Dinge darstellen, \(\alpha\) von einer Art, \(\beta\) von einer zweiten, \(\gamma\) von einer dritten, etc.). \S\ 3. Die graphische Darstellung der Compositionen bipartiter Zahlen. Inverse bipartite Compositionen. \S\ 4. Die graphische Darstellung der Compositionen tripartiter und multipartiter Zahlen. (Ein Parallelepiped mit den Kanten \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) wird durch parallele Ebenen in \(\alpha.\beta.\gamma\) Parallelepipede geteilt; Wege auf den Kanten der kleinen Parallelepipede von einer Ecke zur Gegenecke). \S\ 5. Ausdehnung des Begriffes der Composition (wobei die Verwandtschaft mit der Theorie der ``Bäume'' --- trees --- hervortritt). Die zweite Arbeit beschäftigt sich ausschliesslich mit den erzeugenden Functionen, welche in der ersten Abhandlung zur Aufsuchung der Anzahlen benutzt waren, Functionen, für welche Euler bereits die Vorbilder gegeben hatte, die aber hier in verallgemeinerter Gestalt auftreten und zu einer Menge von Relationen führen, hauptsächlich aus dem Gebiete der Determinanten im allgemeinen und der ``invers symmetrischen'' Determinanten im besonderen. Als ``Hauptsatz'', aus welchem jene Relationen fliessen, wird der folgende bezeichnet: Sind \(X_1\), \(X_2\), ..., \(X_n\) lineare Functionen von Grössen \(x_1\), \(x_2\), ..., \(x_n\), gegeben durch die Matrizen-Relation: \[ (X_1,X_2,\dots,X_n) = \begin{matrix}\underset{\begin{vmatrix} a_{21}&a_{22}&\hdots&a_{2n}\\ .&.&\hdots&.\\ .&.&\hdots&.\\ .&.&\hdots&.\\ a_{n1}&a_{n2}&\hdots&a_{nn}\end{vmatrix}} {\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\hdots&a_{1n}\end{pmatrix}} \;(x_1,x_2,\dots,x_n)\end{matrix}, \] so ist jener Teil des algebraischen Bruches \[ \frac1{(1-s_1X_1)(1-s_2X_2)\dots(1-s_nX_n)}, \] der eine Function der Producte \[ s_1x_1,\,s_2x_2,\,\dots,\,s_nx_n \] allein ist, gleich \(s/V_n\), wo (wenn man \(s_1=s_2=\dots=s_n=1\) setzt). \[ V_n = (-1)^nx_1x_2\dots x_n\begin{vmatrix} a_{11}-1/x_1&a_{12}&\hdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}-1/x_2&\hdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\hdots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\hdots&a_{nn}-1/x_n\end{vmatrix}. \]