On the generalization of algebraic continued fractions (Q1527224)

Wenn \(n\) nach aufsteigenden Potenzen von \(x\) geordnete Potenzreihen gegeben sind: \(S_1\), \(S_2\), ..., \(S_n\), so sollen \(n\) Polynome \(X_1\), \(X_2\), ..., \(X_n\) bezw. vom Grade \(\mu_1\), \(\mu_2\), ..., \(\mu_n\) so bestimmt werden, dass \(\Sigma SX\) erst mit der Potenz \(x^{\mu_1+\mu_2+\cdots+\mu_n+n-1}\) anfängt. Um gewisse Fingerzeige zur Lösung dieses allgemeinen Problems zu erlangen, wird erst der Fall untersucht, wo die Reihen \(S\) Exponential-Functionen darstellen, \(S_i=e^{\zeta_i x}\). Die vollständige Lösung ergiebt sich dabei mit Hülfe des Cauchy'schen Integrals ziemlich schnell; es sind dann Relationen zu ermitteln, welche die gefundenen \(X\) für verschiedene Werte der Exponenten \(\mu\) verbinden. Man findet Recursionsformeln einerseits für den Fall, dass sämtliche \(\mu\) um je 1 verringert werden, andererseits für den Fall, dass eins derselben 0 ist, welcher nämlich zu einem verminderten \(n\) überleitet. Ein entsprechendes System von aufsteigenden Operationen kann dann auf beliebige Reihen angewandt werden. Man kann für zwei Reihen \(S_1\), \(S_2\) zwei \(X\), zunächst von gleichem Grade, dann aber auch von ungleichem Grade herstellen, so dass die gewünschte maximale Annäherung erzielt wird. Dasselbe gelingt schliesslich auch für drei Reihen, und was dabei wesentlich ist, durch einen Algorithmus, welcher die Auflösung von Gleichungen nicht erfordert; vorher zu erledigen ist dabei wiederum der Fall, wo ein \(X\) constant ist; man kann dann im allgemeinen Fall für jeden Annäherungsgrad drei verschiedene Systeme von drei associirten Polynomen gewinnen und dabei fortschreitend den Grad derselben immer um je eins erhöben. Im zweiten Teil der Abhandlung werden solche Reihen \(S\) zu Grunde gelegt, die nach negativen Potenzen von \(x\) fortschreiten, und demgemäss sollen in \(\Sigma SX\) die Potenzen \[ x^{-1},\,x^{-2},\,\dots,\,x^{-(\mu_1+\mu_2+\cdots+\mu_n+n-1)} \] fehlen. Man kann analoge Entwickelungen für den speciellen Fall logarithmischer Reihen aufstellen; aber die dabei gewonnenen Hülfspolynome sind von den vorherigen associirten Polynomen so verschieden, dass die Verallgemeinerung zu schwierig wird. Wenn nur zwei Reihen gegeben sind, gelingt indessen eine Betrachtungsweise, die für jeden Annäherungsgrad mit einem System von drei linearen Gleichungen abschliesst und recurrirend aufsteigt.