Essays on psychology and positive metaphysics. Graphical arithmetics. Magic squares. (Q1527246)

Das Buch ist ein hübscher Beitrag zur Theorie der Bildung der magischen Quadrate, indem es in die empirisch gefundenen Methoden zur Aufstellung derselben Ordnung bringt und manche Erscheinungen, die als vereinzelte Thatsachen bekannt waren, von einem einheitlichen Gesichtspunkte aus beleuchtet und erklärt. Als wesentlich tritt dabei der Umstand auf, dass in die Fächer des zweidimensionalen Quadrates z. B. die Zahlen \[ \begin{matrix}\r&\quad&\quad&\quad&\quad\\ 0,&1,&2,&\hdots,&m-1\\ m,&(m+1),&(m+2),&\hdots,&2m-1\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ (m-1)m,&\hdotsfor3&m^2-1\end{matrix} \] verteilt werden, so dass die Zahlen der ersten Zeile ein vollständiges Restsystem nach dem Modul \(m\) darstellen. Indem dieses Quadrat unbeschränkt oft nach der horizontalen Richtung wiederholt wird und ebenso darunter in verticaler Richtung, welche beiden Richtungen als \(x\)-Axe und \(y\)-Axe aufgefasst werden, kann man nun in der so bedeckten Ebene Richtungen in der Zahl \(\frac12m(m+1)\) bestimmen, die \(m\) Zahlen von der constanten Summe \(\frac12(m-1)m(m+1\)) treffen. Diese geben, in Quadratform gebracht, \((m-2)^2m^3(m+1)\) magische Quadrate. Hypermagisch werden dieselben bei einem Maximum der Regularität genannt. Bei ihrer Bildung wird dann weiter die Schreibweise der Zahlen in einem Zahlensystem mit der Basis \(m\) benutzt, wie überhaupt noch manche hier nicht angebbare Kunstgriffe. Wenn man ferner das Fortschreiten um \(a\) Einheiten in der \(x\)-Richtung durch \(ax\) bezeichnet, dasjenige um \(b\) in der \(y\)-Richtung durch \(by\), so wird eine Stelle im Quadrate durch \(ax+by\) festgelegt und hiermit gleichzeitig die Richtung vom Punkte 0 nach der Zahl \(bm+a\). Hiernach ist klar, wie man in den dreidimensionalen Raum durch die Form \(ax+by+cz\) gelangt und diese Betrachtung auf mehrdimensionale Räume ausdehnen kann. Wir müssen uns hier auf die vorstehenden Andeutungen beschränken, können es aber begreifen, wenn der Verf., ein ehemaliger Marineofficier, über seine Resultate hohe Freude empfindet, obgleich wir nicht mit ihm darin einen Triumph metaphysischer Speculationen erblicken. Die in der Vorrede angezeigte Litteratur des Gegenstandes kommt auf die Récréations mathématiques von Ed. Lucas zurück; die übrigen Citate aus verschiedenen mathematischen Autoren sollen die Notwendigkeit der wissenschaftlichen Metaphysik belegen, welche der Verf. als die Quelle seiner Entdeckungen ansieht.