On the equalization of statistical counts in psychophysics. (Q1527282)

Die Auseinandersetzungen sind veranlasst durch eine an demselben Orte veröffentlichte Untersuchung des Hrn. B. Kämpfe, bei deren Durchsicht der Verf. sich ``nicht des Eindruckes erwehren konnte, dass zwischen dem inneren Werte der umfangreichen Beobachtungsreihe und der gewählten Art der rechnerischen Behandlung ein gewisses Missverhältnis bestehe, hervorgerufen durch die Nichtbenutzung gewisser Principien und Lehrsätze, die den Inhalt der Ausgleichungsrechnung bilden''. Wenn bei den statistischen Zählungen der Psychophysik mehr als zwei Ereignisse unterschieden werden, so bedürfen jedoch die herkömmlichen Voraussetzungen und Vorschriften der Methode der kleinsten Quadrate einer Abänderung. Somit stellen die Auseinandersetzungen des Verfassers im Grunde einen Abriss der Methode der kleinsten Quadrate mit Rücksicht auf die zu lösende Aufgabe dar. ``Diese Art der Behandlung war nötig, weil die herkömmlichen Darstellungen in ihren Grundannahmen Einschränkungen enthalten, die für die Beweisführung überflüssig, für den hier zu behandelnden Fall aber unzulässig sind.'' Die Voraussetzungen und das Ziel der Aufgabe werden folgendermassen formulirt: Angestellt wird eine ``Gruppe'' von Versuchen; diese Gruppe zerfällt in \(q\) ``Reihen'', die wir durch die Nummern 1, 2,..., \(q\) unterscheiden. Bei jedem einzelnen Versuche tritt eines der \(r\) einander ausschliessenden Ereignisse \(E_1\), \(E_2\), ..., \(E_r\) ein. Diese Ereignisse sind im vorliegenden Falle Urteile oder besser Urteilsklassen und kommen dadurch zu Stande, dass auf dem Wege von der Herstellung und Auffassung des beurteilten Objects bis zum Aussprechen des Urteils Fehler begangen werden. Die Wahrscheinlichkeiten, mit denen bei jedem Versuche das Eintreten der einzelnen \(E\) zu erwarten ist, hängen von gewissen Umständen ab, deren Gesamtheit wir als ``Beobachtungsmodus'' (B.-M.) bezeichnen (statt des üblichen Wortes ``Ursache''). Der mathematische Ausdruck für den B.-M. ist die Fehlerfunction oder das Fehlergesetz, welches die Häufigkeit der bei dem betrachteten B.-M. möglichen Fehler regelt. Innerhalb einer Reihe ist der B.-M. constant, und die Fehlerfunctionen zu den einzelnen B.-M. sind ihrer Form nach bekannt; unbekannt sind nur die Werte gewisser Parameter, die in den Fehlerfunctionen auftreten. Es seien nun für die \(\alpha^{\text{te}}\) Versuchsreihe: \(V_\alpha\) die Zahl der Versuche, \(P_{\alpha1}\), \(P_{\alpha2}\), ..., \(P_{\alpha r}\) die gezählten Häufigkeiten der Ereignisse \(E\), \(p_{\alpha1}=P_{\alpha1}/V_{\alpha1}\), ..., \(p_{\alpha1}=P_{\alpha1}/V_{\alpha1}\) die entsprechenden relativen Häufigkeiten; \(u_{\alpha1}\), ..., \(u_{\alpha r}\) die Wahrscheinlichkeiten der \(E\), sodann \(\xi_1\), \(\xi_2\), ..., \(\xi_n\) die unbekannten Parameter, endlich \[ E_{\alpha1}(\xi_1,\dots,\xi_n),\,\dots,\,E_{\alpha r}(\xi_1,\dots,\xi_n) \] die Ausdrücke, die sich für die \(u\) dieser Reihe aus der als bekannt vorausgesetzten Fehlerfunction ergeben; dann erhält man für die Reihennummer \(\alpha\) die \(r\) Beobachtungsgleichungen: \[ p_{\alpha\lambda} = u_{\alpha\lambda} = E_{\alpha\lambda}(\xi_1,\dots,\xi_n)\quad (\lambda = 1,2,\dots,r),\tag{3} \] von denen immer eine die Folge der übrigen ist. Diese Gleichungen enthalten den Ansatz der Aufgabe; die eigentliche Lösung umfasst drei Teile: 1) Das Wertsystem der \(\xi\) zu suchen, das den beobachteten \(p\) am besten entspricht 2) eine Schätzung für die Unsicherheit der gefundenen Werte aufzustellen; 3) zu prüfen, ob die beiden vorher hervorgehobenen Annahmen, die ja zunächst nur voraussetzungsweise gelten, als zulässig anzusehen sind. Ohne dem Verfasser in seiner Darstellung zu folgen, welche in streng gegliederter Form den Gegenstand erschöpfend und klar behandelt, kann Ref. es sich nicht versagen, aus den allgemeinen Betrachtungen des Schlusses die folgende Stelle herzusetzen: ``Es ist nicht Zufall, auch nicht Willkür der Rechner, sondern das Ergebnis einer bald hundertjährigen praktischen Erfahrung, wenn die Behandlung von Beobachtungen die kanonische Form angenommen hat, die man jetzt in den Vorschriften der Ausgleichungsrechnung findet, und es ist eine selbstverständliche wissenschaftliche Sparsamkeit, wenn das Lehrgeld, das die vorzugsweise rechnenden Wissenschaften gezahlt haben, anderswo nicht noch einmal ausgegeben wird.''