Derivation of a general formula for the number of pensioners, who, at a given moment of time, belong to a closed superannuation fund. (Q1527298)

Enthält die Herleitung einer allgemeinen Formel für die Anzahl der Pensionäre, welche in einem willkürlichen Zeitpunkte einer geschlossenen Pensionskasse angehören. Die Bestimmung dieser Anzahl führt zuletzt auf die Differenzengleichung \[ l_m y_{s+x} + l_{m+1}y_{s+x-1} +\cdots+ l_{m+s-1}y_{x+1}= 0, \] wo \(l_x\) die Anzahl der \(x\)-jährig lebenden Personen in der Sterblichkeitstafel, \(m\) das Eintrittsalter und \(s\) die Differenz zwischen dem Pensionirungsalter und dem Eintrittsalter ist. Um \(y_x\) zu finden, hat man also die Gleichung \[ l_m k^{s-1} + l_{m+1}k^{s-2} +\cdots+ l_{m+s-2}k + l_{m+s-1} = 0 \] zu lösen. Der Verf. zeigt nun, dass, wenn \(\alpha_1\) der kleinste und \(\alpha_2\) der grösste von den Brüchen \[ \frac{l_{m+1}}{l_m},\, \frac{l_{m+2}}{l_{m+1}},\dots,\frac{l_{m+s-1}}{l_{m+s-2}} \] ist, der absolute Betrag jeder Wurzel dieser Gleichung grösser als \(\alpha_1\) und kleiner als \(\alpha_2\) ist. Aber die Brüche sind die Vitalitätswahrscheinlichkeiten für Personen, welche \(m\), \(m+1\), ..., \(m+s-2\) Jahre alt sind, also im allgemeinen nur wenig von einander und von 1 verschieden; diese Bemerkung öffnet dem Verf. einen Weg, um die Wurzeln annäherungsweise zu finden, und er erhält als Integral der Differenzenrechnung \[ y_x = \left(\frac{l_{m+s-1}}{l_m}\right)^{\frac x{s-1}}[C_1e^{\frac{2\pi xi}s} + C_2e^{\frac{4\pi xi}s} +\cdots+ C_{s-1}e^{\frac{2(s-1)\pi xi}s}], \] wo die Constanten \(C_1\), \(C_2\), ..., \(C_{s-1}\) complexe Zahlen sind, welche bestimmt werden können, wenn man für einen gegebenen Zeitpunkt die Anzahl der Mitglieder der Pensionskasse und ihre Verteilung nach dem Lebensalter kennt.