Remarks on power series in two variables. (Q1527339)

Der wahre Convergenzbereich einer Potenzreihe von zwei Veränderlichen \(f_1(x,y|a,b)\) (beziehungsweise \(f_2(x,y|a',b')\)) sei in einer durch eine Curve darstellbaren Function \(\sigma=\varphi_1(\varrho)\) (\(\sigma'=\varphi_2(\varrho)\)) angegeben, welche zu jedem Werte \(|x-a|=\varrho\) den wahren Convergenzradius \(\sigma\) (bez. \(\sigma'\)) der jetzt einzigen Veränderlichen \(y-b\) liefert; denkt man sich ein Rechteck \(OAO'B\) gezeichnet, wobei \(OA=BO'=|a-a'|\), \(OB=AO'=|b-b'|\) ist, und für die Curve \(\sigma=\varphi_1(\varrho)\) \(OA\) als positive \(\varrho\)-Axe und \(OB\) als positive \(\sigma\)-Axe, dagegen für \(\sigma'=\varphi_2(\varrho)\) \(O'B\) als positive \(\varrho\)-Axe und \(O'A\) als positive \(\sigma'\)-Axe angenommen ist. Es sei ferner \(r\) eine positive Zahl, \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) ganze positive Zahlen, die keinen gemeinsamen Teiler haben. Dasjenige Stück der Curve \(\varrho^{\lambda_1}\sigma^{\lambda_2}=r\), für welches \(\varrho\) und \(\sigma\) reelle positive Zahlen sind, nenne man \(\mathfrak C(\lambda_1,\lambda_2,r)\). Soll nun \(\mathfrak C\) durch den Punkt \((m, n)\) gehen, so sind die Gleichungen \[ m^{\lambda_1}n^{\lambda_2} = r,\quad \frac{\lambda_1}{\lambda_2} = -\frac mn\tau\tag{1} \] zu erfüllen, wobei \(\tau\) die trigonometrische Tangente des Winkels ist, den die Tangente mit der \(\varrho\)-Axe bildet, und \(m\), \(n\) reelle positive Zahlen sind. Wir wählen nun \(|a-a'|\) und \(|b-b'|\) rational, nehmen auf der Diagonale \(BA\) des Rechtecks \(OAO'B\) \((k-1)\) rationale Punkte \((m_\mu, n_\mu)\) an und bestimmen für jeden Punkt nach den Gleichungen (1) eine Curve \(\mathfrak C(\lambda_{1\mu},\lambda_{2\mu},r_\mu)=\mathfrak C_\mu\), welche die Diagonale im Punkte \((m_\mu, n_\mu)\) berührt. Wählen wir eine Potenzreihe \(\mathfrak P_\mu(z)\) mit dem wahren Convergenzradius \(r_\mu\), so ist \(\mathfrak P_\mu(x^{\lambda1\mu}y^{\lambda2\mu})\) eine Potenzreihe zweier Veränderlichen, deren zugehörige Function \(\varphi\) durch \(\mathfrak C_\mu\) dargestellt wird. Wir wählen nun \[ f_1(x,y|a,b) = \sum_{\mu=1}^{k-1}\mathfrak P_\mu((x-a')^{\lambda1\mu}(y-b)^{\lambda2\mu}); \] dann lassen sich Potenzreihen \(\mathfrak P_\mu'(z)\) und zugehörige Curven \(\mathfrak C_\mu'(\lambda_{1\mu}',\lambda_{2\mu}',r_\mu')\) bestimmen, so dass jede Curve \(\mathfrak C_\mu'\) die Diagonale \(BA\) im Punkte \((m_\mu, n_\mu)\) berührt, jedoch auf der entgegengesetzten Seite der Diagonale liegt, wie \(\mathfrak C_\mu\). Wählen wir dann \[ f_2(x,y|a,b) = \sum_{\mu=1}^{k-1}\mathfrak P_\mu'((x-a')\lambda_{1\mu}'(y-b')\lambda_{2\mu}'), \] so haben \(f_1\), \(f_2\), \(k\) getrennte gemeinsame Convergenzgebiete. Herr Vivanti (siehe JFM 25.0379.02) bemerkt hierzu Folgendes: Die Potenzreihe \[ f_1(x,y|a,b) = \sum_{i,\gamma=0}^\infty a_{i\gamma}((x-a)^i(y-b)^\gamma \] ist, wenn \(|x-a|=\varrho\), \(|y-b|=\sigma\), \(|a_{i\gamma}=\alpha_{i\gamma}\) gesetzt wird, convergent für alle Wertepaare \(x-a\), \(y-b\), für welche \[ \sum_{i,\gamma=0}^\infty \alpha_{i\gamma}\varrho^i\sigma^\gamma \] convergirt. Diese Reihe kann als Potenzreihe von \(\sigma\) betrachtet werden und hat für jeden bestimmten Wert \(\varrho_0\) von \(\varrho\) einen ebenfalls bestimmten, von \(\varrho_0\) abhängigen wahren Convergenzradius \(\sigma_0\). Die Reihe \(f_1(x,y|a,b)\) reducirt sich für ein gegebenes \(|x_0|=\varrho_0\) auf eine Potenzreihe von \(y\); bezeichnet \(\tau_0\) den wahren Convergenzradius dieser Reihe, so betrachtet Herr Zindler (siehe auch JFM 25.0379.01) stillschweigend \(\sigma_0\), \(\tau_0\) als identisch. Herr Vivanti zeigt an einem Beispiel, dass \(\sigma_0\), \(\tau_0\) verschieden sein können und leitet einige Sätze über die Natur von \(\sigma_0\), \(\tau_0\) ab. Herr Zindler erwidert, dass die von Herrn Vivanti bemerkte Unrichtigkeit leicht zu beseitigen sei und auf die Richtigkeit des von ihm behandelten Beispiels keinen Einfluss habe.