On the necessary and sufficient conditions of Taylor's theorem for functions of a real variable. (Q1527348)

Der Verfasser fasst die Ergebnisse dieser beiden Abhandlungen (siehe auch JFM 25.0386.01) in folgender Weise zusammen: 1) Soll die eindeutige Function \(f(x)\) für alle \(x\) des Intervalles \(a\leqq x<a+R\) darstellbar sein durch die Gleichung: \[ f(x) = \sum_{\nu=0}^\infty \frac1{\nu!} f^\nu(a)(x-a)^\nu,\tag{I} \] so erscheint es zweifellos als notwendig, dass \(f(x)\) für alle Werte \(x\) des fraglichen Intervalles endlich und unbeschränkt differentiirbar ist. 2) Diese von Lagrange schon für hinreichend gehaltenen Bedingungen sind es in Wahrheit nicht. Denn, auch wenn sie erfüllt sind, so braucht die Reihe (I) für kein noch so kleines \((x-a)\) zu convergiren, wie das Beispiel \[ f(x) = \sum_{\nu=0}^\infty \frac1{\nu!}\frac1{1+\alpha^\nu x}\qquad(\alpha>1) \] in der Umgebung der Stelle \(x=0\) zeigt. Es muss also noch die Bedingung hinzukommen, dass die Reihe (I) für jedes positive \((x-a)=r<R\) convergire, eine Bedingung, die auch völlig gleichwertig ist mit der folgenden: \[ \lim \frac1{n!} f^n(a)r^n = 0\text{ für jedes positive }r<R,\tag{II} \] d. h. es genügt nicht, dass \(f^n(a)\) für jedes endliche \(a\) selbst endlich ist, sondern es darf \(f^n(a)\) mit unendlich wachsendem \(n\) höchstens in dem Masse ins Unendliche wachsen, wie es Gleichung (II) zulässt. 3) Ist auch diese Bedingung erfüllt, so braucht die Summe der Reihe (I) doch noch keineswegs den Wert \(f(x)\) zu haben, wie wiederum das dem oben angeführten ähnliche Beispiel: \[ f(x) = \sum_{\nu=0}^\infty \frac{(-1)^\nu}{\nu!}\frac1{1+\alpha^\nu x}\qquad(\alpha>1) \] in der Umgebung der Stelle \(x=0\) zeigt. Es muss nach der Annahme von \(r<R\) und \(\varrho<R-r\): \[ \lim\frac1{n!}f^n(x)\varrho^n = 0\tag{III} \] werden und zwar gleichmässig für alle Werte \(x\) des Intervalles \(a\leqq x<a+r\). Obschon diese Bedingung mit den vorangehenden zusammen nunmehr für die Gültigkeit der Gleichung (I) ausreicht, so erscheint es vielleicht etwas übersichtlicher, sie durch die folgende zwar etwas stärkere, nichtsdestoweniger gleichfalls als notwendig erkannte zu ersetzen: \[ \lim \frac1{n!}f^n(x)(a+r-x)^n = 0,\tag{IV} \] und zwar gleichmässig für: \[ a\leqq x\leqq a+r<a+R, \] da dieselbe die Bedingung (II) gleich mit umfasst. Hiernach ergiebt sich: Das charakteristische Merkmal, welches die in Potenzreihen entwickelbaren Functionen von den bloss unbeschränkt differentiirbaren auszeichnet, besteht lediglich in gewissen, durch die Gleichungen (II) und (III), bezw. (IV) genau präcisirten Beschränkungen bezüglich des Unendlichwerdens von \(f^n(x)\) für unendlich wachsendes \(n\). Im Anschluss an seine Entwickelungen leitet der Verfasser noch folgenden Satz ab: Ist für das Innere und die Grenze eines Bereiches \(A\) die Reihe \(\sum f_\nu\), deren Glieder daselbst stetige Functionen beliebig vieler Variabeln sind, absolut convergent, und ist \(F=\sum|f_\nu|\) für jenen Bereich \(A\) eine stetige Function der betreffenden Variabeln, so convergirt \(\sum|f_\nu|\) und also auch \(\sum f_\nu\) für den Bereich \(A\) gleichmässig.