Ueber die Summe der Potenzen der natürlichen Zahlen. (Q1527385)

Der Summe \[ S_r = 1^r + 2^r + 3^r +\cdots+ (n-1)^r + n^r \] kann man die Form geben \[ S_r = \binom{n+r}{r+1} + a_1^r\binom{n+r-1}{r+1} + a_2^r\binom{n+r-2}{r+1} +\cdots+ \binom{n+1}{r+1}, \] worin \[ a_k^r = (k+1)^r - \binom{r+1}1 k^r + \binom{r+1}2 (k-1)^r -\cdots+ (-1)^k\binom{r+1}k \] ist und für die \(a_k^r\) die Recursionsformel \[ a_{k+1}^{r+1} = (r-k)a_k^r + (k+2)a_{k+1}^r \] besteht.