Zur Theorie der Bernoulli'schen Zahlen. (Q1527391)

Es wird für die Bernoulli'schen Zahlen folgende Darstellung abgeleitet: \[ \frac{(2^{2\varrho-1}-1)\pi^{2\varrho}}{(2\varrho)!}B_\varrho = \frac1{1^{2\varrho}} - \frac1{2^{2\varrho}} + \frac1{3^{2\varrho}} -\cdots, \] ferner die der Kronecker'schen Formel (J. für Math. XCIV. 268) verwandten, für \(p>2n\) gültigen Ausdrücke: \[ (-1)^{n+1}\frac{2n+1}2B_n = \binom p1\frac{\overset{2n+1} S(1)}{1^2} - \binom p2\frac{\overset{2n+1} S(2)}{2^2} +\cdots+ (-1)^{p-1}\binom pp\frac{\overset{2n+1} S(p)}{p^2}, \] \[ (-1)^{n}\frac{2n+1}2B_n = \binom p2\frac{\overset{2n+1} S(1)}{2^2} - \binom p3\frac{\overset{2n+1} S(2)}{2^2} +\cdots+ (-1)^{p-1}\binom pp\frac{\overset{2n+1} S(p-1)}{p^2}, \] worin gesetzt ist: \[ \overset{2n} S(x) = 1^{2n} + 2^{2n} +\cdots+ x^{2n} = \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + \frac{x^{2n}}2 + \binom{2n}1 \frac{B_1}2 x^{2n-1} -\cdots+ (-1)^{n+1}\binom{2n}{2n-1}\frac{B_n}{2n} x. \] Weiter ist für \(p>2\sum p_\lambda\) \[ \begin{multlined} (-1)^{\sum p_\lambda+\lambda-1}B_{p_1}B_{p_2}B_{p_3}\dots B_{p_\lambda} = \binom p1\frac{\prod\limits_\lambda\overset{2p_\lambda} S(1)}{1^\lambda} - \binom p2\frac{\prod\limits_\lambda\overset{2p_\lambda} S(2)}{2^\lambda} +\cdots\\ + (-1)^{p+1}\binom pp\frac{\prod\limits_\lambda\overset{2p_\lambda} S(p)}{p^\lambda}.\end{multlined} \] Bezeichnet \(C_k^p\) die Combinationen zur \(k^{\text{ten}}\) Klasse mit Wiederholung der \(p\) Elemente \(\frac11\), \(\frac12\), ..., \(\frac1p\), wobei jede Combination als Product betrachtet wird, so ist: \[ \binom p1\frac1{1^k} - \binom p2\frac1{2^k} + \binom p3\frac1{3^k} -\cdots+ (-1)^{p+1}\binom pp\frac1{p^k} = \sum C_k^p\left(\frac11,\frac12,\frac13,\dots,\frac1p\right). \]