Zur Theorie der Bernoulli'schen und Euler'schen Zahlen. (Q1527394)

Es handelt sich um eine neue Art verkürzter Recursionsformeln der Bernoulli'schen Zahlen. Bezeichnet \(q\) eine ganze positive Zahl und \(\mu\) eine der Zahlen 0, 1, 2, ..., \(q-1\), so wird z. B. \(B_{kq+\mu}\) durch die Bernoulli'schen Zahlen mit den Indices \[ \nu q + \mu\qquad(\nu = 0,1,2,\dots,q-1) \] dargestellt. Zwischen je zwei in einer Formel vorkommenden Bernoulli'schen Zahlen fehlen also immer die \((q-1)\) dazwischen liegenden. Hieraus ergiebt sich auch unmittelbar die independente Darstellung der \(B_q\). Aehnliches gilt für die Euler'schen Zahlen, so dass auch diese mit den Einheitswurzeln eng zusammenhängen eine Eigenschaft, welche für die Bernoulli'schen Zahlen schon von Kronecker nachgewiesen ist. Schliesslich wird der unmittelbare Zusammenhang zwischen der \(q^{\text{ten}}\) Euler'schen und der \(q^{\text{ten}}\) Bernoulli'schen Zahl (resp. dem \((q+1)^{\text{ten}}\) Tangentencoefficienten) abgeleitet. Die Recursionsformel für die Tangentencoefficienten \(\beta_{qk+\mu}\) ist: \[ P_{2qk+2\mu-1} = \sum_{m=0}^k (-1)^{qm+\mu+1}\binom{2qk+2\mu-1}{2qm+2\mu-1} P_{2q(k-m)}\beta_{qm+\mu}, \] wo, wenn die \(\alpha\) primitive \(2q^{\text{te}}\) Einheitswurzeln sind, \[ \beta_0 = 0,\quad P_0 = 2^{q-1},\quad P_\varrho = \sum(\alpha^0\pm\alpha^1\pm\cdots\pm\alpha^{q-1})^\varrho \] ist; in der Summe für \(P_\varrho\) sind sämtliche Combinationen der vor \(\alpha^1,\dots,\alpha^{q-1}\) stehenden Zeichen zu nehmen und die \(\varrho^{\text{ten}}\) Potenzen dieser Ausdrücke zu addiren; \(\binom hg\) bezeichnet den \(g^{\text{ten}}\) Binomialcoefficienten von \(h\). Für \(k=0\), \(\mu=1,2,\dots,q-1\) und für \(k =1\), \(\mu=0\) folgt hieraus die independente Darstellung der Tangentencoefficienten: \[ \beta_\sigma = (-1)^{\sigma+1}\frac{P_{2\sigma-1}}{2^{q-1}}\qquad(\sigma= 1, 2,\dots, q). \] Für die Bernoulli'schen Zahlen ergiebt sich: \[ 2kR_{q(2k+1)} = 2kqR_{q(2k+1)-1} = \sum_{m=1}^k (-1)^{qm+1}\binom{q(2k+1)}{2qm} 2^{2qm}R_{q(2k+1-2m)}B_{qm}, \] \[ \begin{multlined} [q(2k+1)+2\mu]R_{q(2k+1)+2\mu-1}\\ = \sum_{m=0}^k (-1)^{qm+\mu+1}\binom{q(2k+1)+2\mu}{2qm+2\mu} 2^{2qm+2\mu}R_{q(2k+1-2m)}B_{qm+\mu}\end{multlined} \] \[ (\mu=1,2,\dots,q-1), \] wo \[ R_\sigma = \sum\pm(\alpha^0\pm\alpha^1\pm\cdots\pm\alpha^{q-1})^\sigma\quad (\sigma=1,2,\dots) \] und für \(\alpha = e^{\frac{\pi i}q}\): \[ R_q = (2i)^{q-1}q! \] ist. Setzt man in der ersten, resp. \(2^{\text{ten}}\) dieser Formeln \(k=1\) resp. \(k=0\), so erhält man die independente Darstellung: \[ B_q = i^{q-1}\frac{q(2q)!R_{3q-1}}{(3q)!2^{3q-2}} = i^{q-1}\frac{(2q)!R_{3q}}{(3q)!2^{3q-2}}, \] \[ B_\mu = i^{2\mu-q-1}\frac{(2\mu)!R_{q+2\mu-1}}{(q+2\mu-1)!2^{q+2\mu-1}}\quad(\mu=1,2,\dots,q-1). \] Ist \(q\) eine ungerade Zahl, so lassen sich \(\beta_q\), \(B_q\) und die Secantencoefficienten \(\sigma_q\), für welche analoge Formeln gegeben werden, durch die sämtlichen \(q^{\text{ten}}\) Einheitswurzeln darstellen.