Notiz über die zu einer Fundamentaldiseriminante gehörigen Bernoulli'schen Zahlen. (Q1527395)

Herr Berger hat die zu der Fundamentaldiscriminante \(\Delta(\varepsilon\Delta>0)\) gehörigen Bernoulli'schen Zahlen \(B(\lambda,\Delta)\) definirt. Herr Gegenbauer führt hierauf im ersten Teil seiner Mitteilung eine grosse Anzahl von Reihen zurück, z. B. \[ \sum_{x=1}^\infty \fracwithdelims(){\Delta}x\frac{\mu_{2r+1}(x)}{x^{2s}} = \frac{B(2s,\Delta)}{(2\pi)^{4rs}B((2r+1)s,\Delta)}\quad(\varepsilon>0), \] \[ \sum_{x=1}^\infty \fracwithdelims(){\Delta}x\frac{f_2(x)}{x^{2s+\frac{1-\varepsilon}2}} = \frac{(2\pi)^{4s+1-\varepsilon}B^2(2s+\frac{1-\varepsilon}2,\Delta)}{4|\Delta|}. \] Darin ist \(\mu_k(n)\) gleich 0 oder 1, je nachdem die ganze Zahl \(n\) durch eine \(k^{\text{te}}\) Potenz teilbar ist oder nicht, \(f_\varrho(n)\) bedeutet die Anzahl der Zerlegungen der ganzen Zahl \(n\) in \(\varrho\) Factoren. Im \(2^{\text{ten}}\) Teile zeigt der Verfasser, dass \[ \lim_{\varepsilon=0,s_1=\infty,s_2=\infty} \sum_{\lambda,\mu=0}^{\lambda=s_1,\mu=s_2} \varepsilon f(\varepsilon(\lambda^2+\mu^2))\varepsilon \left(\frac1{[\lambda,\mu]}\right) = \frac2{\pi}\int_0^\infty f(y)dy, \] \[ \lim_{\varepsilon=0,s_1=\infty,s_2=\infty} \sum_{\lambda,\mu=0}^{\lambda=s_1,\mu=s_2} \varepsilon f(\varepsilon(\lambda^2+\mu^2))\varepsilon \left(\frac{[\lambda,\mu]}2\right) = \frac{\pi^2-8}{4\pi}\int_0^\infty f(y)dy, \] ist, wo \([\lambda,\mu]\) der grösste gemeinsame Teiler der zwei ganzen Zahlen \(\lambda\) und \(\mu\) ist und die zahlentheoretische Function \(\varepsilon(\alpha)\) den Wert 1 oder 0 hat, je nachdem \(\alpha\geqq1\) ist oder nicht.