Ueber einen Algorithmus zur Berechnung der \(n^{\text{ten}}\) Wurzel aus \(a\). (Q1527403)

Der auf die \(n^{\text{te}}\) Wurzel aus \(a\) führende Algorithmus ist der folgende: \[ \begin{aligned} x_1 &= \frac{n-1}nx + \frac a{n.x^{n-1}},\\ x_2 &= \frac{n-1}nx_1 + \frac a{n.x_1^{n-1}},\\ .\quad&.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.,\end{aligned} \] dessen Convergenzbedingungen, auch für complexe Werte von \(x\), untersucht werden. In dem ausführlicher behandelten Falle \(n=2\) zerfällt die Ebene der complexen Zahlen in zwei Convergenzbereiche, die durch eine gerade Linie, nämlich die Mittelsenkrechte der Verbindungslinie der beiden Punkte \(+\sqrt a\) und \(-\sqrt a\), von einander getrennt sind. Liegt der Anfangswert \(x\) auf dieser Grenzlinie, so convergirt der Algorithmus nicht; in jedem anderen Falle convergirt er gegen denjenigen Wert von \(\sqrt a\) welcher dem Anfangswerte zunächst liegt.