Approximate representation of the square root of a variable. (Q1527404)

Soll \(\sqrt{\frac1x}\) möglichst genau durch die Function \[ A + \frac{B_1}{C_1+x} + \frac{B_2}{C_2+x} +\cdots+ \frac{B_n}{C_n+x} \] dargestellt werden, so muss das Verhältnis \[ y = \frac{A + \frac{B_1}{C_1+x} + \frac{B_2}{C_2+x} +\cdots+ \frac{B_n}{C_n+x}}{\sqrt{\frac1x}} \] sich möglichst wenig von 1 entfernen. Sind nun \(l\), \(\frac1l>l\) die Grenzwerte von \(y\) im Intervall \(x=1\), \(x=h>1\), so wird die grösste Annäherung von \(l\), \(\frac1l\) an die Einheit nur bei solchen Werten von \(A\), \(B_1\), ..., \(B_n\), \(C_1\), ..., \(C_n\) stattfinden, für welche \(y\) in dem angegebenen Intervalle wenigstens \((2n+2)\) - mal die Grössen \(l\), \(\frac1l\) erreicht, ohne sie zu überschreiten. Es ergiebt sich \[ \begin{aligned} l^4 &= 1 - 16q^{2n+1}\left\{\frac{\sum\limits_{i=-\infty}^{+\infty} q^{2(2n+1)i(2i+1)}}{\sum\limits_{i=-\infty}^{+\infty} q^{(2n+1)i(2i+1)}}\right\}^8,\\ q &= e^\varrho,\quad\text{wo}\quad \varrho = \frac{\int_{-\pi}^1\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)(h-x)}}}{\int_1^h\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)(h-x)}}}.\end{aligned} \] Die Grössen \(A\), \(B_1\), ..., \(B_n\), \(C_1\), ..., \(C_n\) lassen sich durch elliptische Functionen mit dem Modul \(k=\sqrt{1-\frac1h}\) und die Grösse \[ K = \int_0^{\frac{\pi}2} \frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}} \] ausdrücken. Dann wird \[ \sqrt{\frac1x} = \frac{\sum\frac{\sqrt h \operatorname{dn}\frac{2mK}{2n+1}}{x\operatorname{sn}^2\frac{2mK}{2n+1} + h\operatorname{cn}^2\frac{2mK}{2n+1}}}{l^{2\theta}\sum\operatorname{dn}\frac{2mK}{2n+1}}, \] wo sich die Summation über alle Werte \[ m = -n,\,-(n-1),\,\dots,\,-1,\,0,\,1,\,\dots,\,n-1,\,n \] erstreckt und \(\theta\) eine Grösse bedeutet, die zwischen 0 und 1 liegt. Auf Grund dieser Darstellung wird eine Formel abgeleitet, welche die Grenzwerte des Integrals \[ \int\frac U{\sqrt V}du \] giebt, und zwar mit Hülfe von Integralen, welche die Function \(V\) ausserhalb des Wurzelzeichens enthalten, und das Resultat wird auf die Fälle \[ U = 1,\quad V = 1 - \lambda^2\sin^2u,\quad \lambda<1 \] und \[ V = 1 - \lambda^2\sin^2u,\quad U = \Phi(\tan u) \] angewandt, wo \(\Phi(\tan u)\) eine Function ist, die innerhalb der Integrationsgrenzen das Zeichen \(+\) behält.