Ueber eine Anzahlbestimmung und eine damit zusammenhängende Reihe. (Q1527416)

Betrachtet man zwei rechteckige Systeme von \(s\) Zeilen und \(t\) Colonnen mit ganzzahligen Elementen \((a_{ik})\) und \((b_{ik})\) als äquivalent, wenn die \(st\) Congruenzen \(a_{ik}\equiv b_{ik}\) modulo einer Primzahl \(p\) (für \(i=1,2,\dots,s;\;k=1,2,\dots,t)\) erfüllt sind, so giebt es unter den \(st\) nicht äquivalenten Systemen eine bestimmte Anzahl \(\Phi(s,t,r)\), welche modulo \(p\) den Rang \(r\) haben. Es ist \[ \Phi(s, t, r) = \prod_a(p^t-p^a)\frac{p^{s-a}-1}{p^{a+1}-1}\quad(a = 0,1,2,\dots,r-1) \] und \[ \sum_r \Phi(s,t,r) = p^{st}\qquad (r = 0, 1, 2,\dots, s). \]