On the constant which occurs in the formula for \(1^1.2^2.3^3\dots n^n\). (Q1527429)

Der \S\ 22 der Abhandlung ``On certain numerical products'', über welche oben berichtet ist (siehe JFM 25.0437.02), beschäftigt sich mit der Auswertung der Constante \(A\), welche in der angenäherten Formel \[ 1^1.2^2.3^3\dots n^n = An^{\frac12n^2+\frac12n}.e^{-\frac14n^2} \] vorkommt (\(A = 1,282427130\), \(\log A=0,24875447703\)). Der vorliegende Aufsatz bezweckt die Untersuchung gewisser Formeln, in denen die Constante \(A\) auftritt. Wir setzen die folgenden her: \[ 1.2^\frac14.3^\frac19.4^{\frac1{16}}\dots = \left(\frac{A^{\frac1{12}}}{2\pi e^\gamma}\right)^{\frac16\pi^2}, \] \[ \frac92\log A = \frac12 + \log2 - \frac18\gamma - \frac{S_3}{3.4}\cdot\frac1{4^3} - \frac{S_5}{5.6}\cdot\frac1{4^5} - \frac{S_7}{7.8}\cdot\frac1{4^7} -\cdots, \] \[ 4\log A = \frac12 + \frac{13}{24}\log2 - \frac16\gamma - \frac{S_3}{3.4}\cdot\frac1{3^3} - \frac{S_5}{5.6}\cdot\frac1{3^5} - \frac{S_7}{7.8}\cdot\frac1{3^7} -\cdots. \] ``Die Constante \(A\) oder \(\log A\) kommt in so vielen Formeln vor, dass sie somit als eine bekannte Constante behandelt werden kann''.