Ueber die Convergenz bestimmter Integrale mit unendlichen Grenzen. (Q1527498)

Zerlegt man das Intervall \(a\dots\infty\) durch Einschaltung einer unbegrenzten Reihe von Zahlen \(x\), welche den Bedingungen \[ a < x_1 < x_2 < x_3 <\cdots,\quad\lim x_n = \infty\text{ für }n = \infty\tag{1} \] genügen, in unendlich viele Teilintervalle, so kann man, wie der Verf. bemerkt, nicht ohne weiteres aus der Convergenz oder Divergenz der unendlichen Reihe \[ u_1 + u_2 + u_3 +\cdots,\text{ wo }u_n = \int_{x_{n-1}}^{x_n}f(x)dx \] ist, auf das Verhalten des Integrales \(\int\limits_a^\infty f(x)dx\) schliessen; es gilt vielmehr der folgende Satz: ``Aendert \(f(x)\) von einem angebbaren Werte des Argumentes an das Vorzeichen nicht mehr, und genügen die Zahlen \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), ... den Bedingungen (1), so besteht immer die Gleichung: \[ \int_a^\infty f(x)dx = \int_a^{x_1} f(x)dx + \int_{x_1}^{x_2} f(x)dx + \int_{x_2}^{x_3} f(x)dx +\cdots \text{in inf.} \] Folgen hingegen auf jeden noch so grossen Wert des Arguments Zeichenwechsel von \(f(x)\), so besteht diese Gleichung nicht immer, wenn nur die Bedingungen (1) erfüllt sind; sie ist jedoch stets richtig, wenn die Function \(f(x)\) innerhalb jedes der Intervalle \((x_m, x_{m+1})\), \((x_{m+1},x_{m+2})\), ..., welche auf eine angebbare Zahl \(x_m\) der Reihe \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), ... folgen, das Vorzeichen nicht ändert.'' Wenn in dem letzten Falle Integral und Reihe unbestimmt sind, so ist das Bestehen der obigen Gleichung so aufzufassen, dass die Unbestimmtheitsgrenzen des Integrales und der Reihe gleich sind. Ist aber die neu hinzugekommene Bedingung nicht erfüllt, so lässt sich nur beweisen, dass die Unbestimmtheitsgrenzen der Reihe zwischen denen des Integrales liegen.