Rein analytische Herleitung der Transformationsgleichung für eigentliche Doppelintegrale mit Hülfe des Green'schen Satzes. (Q1527511)

Unter den nötigen Voraussetzungen über Stetigkeit und Differentiirbarkeit wird für die im ganzen Gebiete eindeutig definirte Function \(f(x, y)\) die bekannte Transformationsgleichung: \[ \iint\limits_G f(x,y)dxdy = \iint\limits_P f(\varphi,\psi)\left|\frac{\partial\varphi}{\partial p}\frac{\partial\psi}{\partial q} - \frac{\partial\psi}{\partial p}\frac{\partial\varphi}{\partial q}\right|dpdq, \] wo \(x=\varphi(p,q)\), \(y=\psi(p,q)\) ist, mit Hülfe des Green'schen Satzes auf rein analytischem Wege abgeleitet. Diese Ableitung ist zulässig, wenn entweder sich die Bereiche der beiden Variabelnpaare, \(G\) (von \(x,\,y\)) und \(P\) (von \(p,\,q\)), im allgemeinen punktweise völlig eindeutig entsprechen und höchstens ein stetiges Curvenstück der Begrenzung von \(P\) einem und demselben Punkte von \(G\) zugeordnet ist, oder \(P\) sich in eine endliche Anzahl von Teilgebieten der vorigen Art zerlegen lässt. Es ist also zulässig, dass einzelnen Punkten in \(G\) (deren Anzahl eine endliche ist) je eine stetige Punktreihe im Innern von \(P\) entspricht, wenn nur \(P\) sich längs dieser Punktreihen in Teilgebiete der vorgeschriebenen Art zerschneiden lässt. Ist \(P\) ein einfaches, nicht aus mehreren von einander getrennten Teilen bestehendes Gebiet, dessen Ränder sich auch nicht gegenseitig berühren, so muss sogar in \(P\) eine derartige Punktreihe, welche wenigstens zum Teil dem Innern von \(P\) angehört, existiren für den Fall, dass \(\frac{\partial\varphi}{\partial p}\frac{\partial\psi}{\partial q} - \frac{\partial\psi}{\partial p}\frac{\partial\varphi}{\partial q}\) im Innern von \(P\) sowohl positive als negative Werte annimmt. Entsprechen dagegen verschiedenen inneren Punkten von \(P\) auch verschiedene Punkte von \(G\), so hat die vorstehende Differenz im ganzen Gebiete \(P\) entweder nur positive oder nur negative Werte.