Eine Integralrelation. (Q1527515)

Die Bessel'schen Functionen \(I^k\) sind vielfach benutzt worden, um Potentialfunctionen durch einfache Integrale darzustellen. Die meisten dieser Darstellungen, sowie verschiedene Verallgemeinerungen derselben für den Fall, dass die Wirkung der Kräfte nicht dem Quadrate, sondern einer beliebigen Potenz der Entfernung umgekehrt proportional ist, lassen sich aus der folgenden vom Verfasser gegebenen Integralrelation leicht ableiten: \[ \begin{multlined} \int_0^\pi \int_{r_1}^{r_2} \int_{\varrho_1}^{\varrho_2} \frac{\varrho^a\varphi(r)\psi(\varrho) C_n^\mu(\cos\varphi)\sin^{2\mu}\varphi d\varphi dr d\varrho}{[\varrho^2 + \tau^2 - 2\varrho\tau\cos\varphi + (z+ri)]^{\frac{2\mu+1}2}}\\ = \frac{\pi\prod(n+2\mu-1)}{\prod(n)\prod(2\mu-1)\tau^\mu} \int_0^\infty e^{-zx}F_1(x)F_2(x)I^{n+\mu}(\tau x)dx\quad(z\geqq0),\end{multlined} \] wo \[ F_1(x) = \int_{r_1}^{r_2} e^{-rxi}\varphi(r)dr,\quad F_2(x) = \int_{\varrho_1}^{\varrho_2} \varrho^{a-\mu}\psi(\varrho)I^{n+\mu}(\varrho x)d\varrho \] ist und die \(C_n^\mu(x)\) die vom Verfasser früher untersuchten verallgemeinerten Kugelfunctionen (cfr. F. d. M. XVI. 1884. 452, JFM 16.0452.02) sind, welche sich als die Coefficienten der Entwickelung von \((1-2ax+a^2)^{-\mu}\) nach steigenden Potenzen von \(a\) ergeben. Der Verfasser zeigt, wie sich aus der vorstehenden Relation in eleganter Weise die von Beltrami, H. Weber und Heine gegebenen Ausdrücke für die Potentialfunctionen einer homogenen Kreisperipherie, einer Kreisscheibe, der Mantelfläche eines geraden Kreiscylinders und eines geraden Kreiscylinders selbst ergeben.