Ueber die Reductibilität linearer homogener Differentialgleichungen. (Q1527553)

In der Arbeit ``Ueber den Begriff der Irreductibilität in der Theorie der linearen Differentialgleichungen'' (J. für Math. LXXVI. 268; F. d. M. V. 1873. 176-179, JFM 05.0176.01) hat Hr. Frobenius den Satz aufgestellt: ``Wenn von zwei verschiedenen Integralen einer homogenen linearen Differentialgleichung mit eindeutigen Coefficienten das eine ein homogener linearer Differentialausdruck mit eindeutigen Coefficienten von dem anderen ist, so ist die Differentialgleichung reductibel''. Dabei ist der Begriff der Reductibilität so zu fassen, dass die vorgelegte Differentialgleichung mit einer linearen Differentialgleichung niedrigerer Ordnung, deren Coefficienten ebenfalls eindeutig sind, ein Integral gemein hat. Hr. Frobenius hat von diesem Satze, der durch seine Anwendung in den neueren Untersuchungen des Hrn. Fuchs (``Zur Theorie der Differentialgl.'', Berl. Ber. 1888, JFM 20.0314.01, und 1889, JFM 21.0305.01) besondere Bedeutung erlangt hat, a. a. O. einen indirecten Beweis gegeben. Der Verf. leitet den Satz auf directem Wege ab, wodurch zugleich Aufschluss gewonnen wird über die Natur der Differentialgleichungen niedrigerer Ordnung, mit denen die gegebene Differentialgleichung Integrale gemeinsam hat. Es ergiebt sich Folgendes: Zwischen zwei linear unabhängigen Integralen \(y_1\) und \(\eta_1\) einer homogenen linearen Differentialgleichung \(n^{\text{ter}}\) Ordnung \(P(y)\) mit eindeutigen Coefficienten bestehe die Beziehung \[ \eta_1 = A_0y_1 + A_1y_1' +\cdots+ A_\nu y_1^{(\nu)}\qquad(\nu\leqq n-1).\tag{1} \] Die Function \(y_1\) kann nicht mehr als \(n\) von einander unabhängige Zweige besitzen; besitzt sie weniger, so ist \(P(y)\) jedenfalls reductibel. Besitzt sie gerade \(n\) Zweige, so besteht das System linearer Gleichungen: \[ \eta_k = a_{k_1}y_1 + a_{k_2}y_2 +\cdots+ a_{k_n}y_n\qquad(k=1,2,\dots,n). \] In diesem Falle genügt ein Integral von \(P(y)\) \[ u = c_1y_1 +\cdots+ c_ny_n \] der Differentialgleichung: \[ f(u,\omega) = (A_0-\omega)u + A_1u' +\cdots+ A_\nu u^{(\nu)} = 0, \] worin \(\omega\) eine Wurzel der transcendenten Gleichung \[ \Delta\equiv \begin{vmatrix} a_{11}-\omega&\hdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\hdots&a_{nn}-\omega\end{vmatrix} = 0 \] ist. Man kann für \(\omega\) auch eine algebraische Gleichung erhalten, indem man die Bedingung des simultanen Bestehens der Differentialgleichungen \(P(y)=0\) und \(f(y,\omega)=0\) aufsucht. --- Sind die \(n\) Wurzeln \(\omega_1\), \(\omega_2\), ..., \(\omega_n\) von einander verschieden, so erhält man \(n\) Gleichungen \(f(y,\omega)=0\), mit denen \(P(y)=0\) Integrale gemeinsam hat; \(n\) solcher Integrale, deren jedes einer anderen Wurzel \(\omega_n\) entspricht, sind linear unabhängig. Daraus lässt sich beweisen, dass \(P(y)=0\) mit jeder der Gleichungen \(f(y,\omega)=0\) nur ein Integral gemein haben kann; folglich kann man jedes derselben durch blosse Quadratur erhalten. --- Ist \(\omega_1\) eine \(\mu\)-fache Wurzel derart, dass nicht sämtliche Unterdeterminanten \((n-1)^{\text{ten}}\) Grades verschwinden, so hat \(P(y)=0\) zunächst mit \(f(y,\omega_1)=0\), sodann successive mit \(\mu-1\) linearen nicht homogenen Differentialgleichungen \(\nu^{\text{ter}}\) Ordnung je ein Integral gemeinsam; dieselben können daher alle durch blosse Quadraturen erhalten werden. --- Verschwinden dagegen alle Unterdeterminanten der Gleichung \(\Delta=0\) bis zum \((n-\lambda+1)^{\text{ten}}\) Grade inclusive, während die \((n-\lambda)^{\text{ten}}\) Grades nicht alle zugleich verschwinden, so hat die Differentialgleichung \(P(y)=0\) zunächst \(\lambda\) verschiedene Integrale mit \(f(y,\omega_1)=0\) gemein, welche durch Auflösung einer linearen homogenen Differentialgleichung \(\lambda^{\text{ter}}\) Ordnung geliefert werden; ferner \(\mu-\lambda\) Integrale, welche in gewisse Gruppen zerfallen, mit linearen nicht homogenen Differentialgleichungen \(\nu^{\text{ter}}\) Ordnung; die letzteren kann man wieder durch blosse Quadraturen erhalten. --- Durch \(n\)-malige Differentiation von (1), Reduction der höheren Ableitungen von \(y_1\) mittels \(P(y_1)=0\) auf die \((n-1)^{\text{te}}\) Ordnung und Einsetzung der so erhaltenen Werte von \(\eta_1\), \(\eta_1'\), ..., \(\eta_1^{(n)}\) in \(P(\eta_1)=0\) erhält man für \(y_1\) selber eine lineare homogene Differentialgleichung \((n-1)^{\text{ter}}\) Ordnung, so dass auf diesem Wege die Reductibilität von \(P(y)=0\) bewiesen scheint: Es zeigt sich aber, dass im allgemeinen, z. B. gerade wenn das Integral \(y_1\) \(n\) verschiedene Zweige hat, die Coefficienten dieser Differentialgleichung \((n-1)^{\text{ter}}\) Ordnung sämtlich verschwinden müssen, so dass dieselbe u. a. zur Erkenntnis der Reductibilität von \(P(y)=0\) nicht brauchbar ist. --- Den Schluss der Arbeit bildet eine Illustrirung der erhaltenen Sätze an der Differentialgleichung zweiter Ordnung.