Ueber die singulären Lösungen der algebraischen Differentialgleichungen erster Ordnung. (Q1527621)

Der Verf. giebt in der Einleitung selber eine so erschöpfende Inhaltsangabe seiner überaus wichtigen Abhandlung, dass wir dieselbe fast unverändert hier folgen lassen: ``Die singulären Lösungen einer algebraischen Differentialgleichung erster Ordnung \[ f(x,y,y') = 0, \] wenn sie vorhanden sind, genügen bekanntlich der Discriminantengleichung \(\Delta(x,y)=0\), die durch Elimination von \(y'\) aus den beiden Gleichungen \[ f(x,y,y') = 0,\quad \frac{\partial f(x,y,y')}{\partial y'} = 0 \] erhalten wird. Im allgemeinen wird jedoch keines der Gebilde, welche die Discriminantengleichung enthält, eine Lösung der Differentialgleichung darstellen, also überhaupt keine singuläre Lösung existiren, da zur Existenz einer solchen eine leicht aufstellbare Bedingungsgleichung erfüllt sein muss. Geht man andererseits nach Lagrange, der zuerst den Zusammenhang der singulären mit der allgemeinen Lösung dargelegt hat, von der primitiven Gleichung \(F(x,y,C)=0\) aus, wo \(C\) die willkürliche Constante bedeutet, so wird die Discriminantengleichung \(D(x,y)=0\), die durch Elimination von \(C\) aus den beiden Gleichungen \[ f(x,y,C) = 0,\quad \frac{\partial f(x,y,C)}{\partial C} = 0 \] hervorgeht, im allgemeinen die singulären Lösungen der aus der primitiven Gleichung abgeleiteten Differentialgleichung erster Ordnung darbieten. --- Der scheinbare Widerspruch, der hier vorliegt, hat die Herren Darboux und Cayley zu neuer Aufnahme dieser Untersuchungen veranlasst. Die erlangten Resultate haben wichtige Aufschlüsse über die geometrische Bedeutung der beiden erwähnten Discriminantengleichungen ergeben, so weit sie keine Lösungen der Differentialgleichung liefern. Allein eine befriedigende Erklärung des gedachten Paradoxons können wir in den Auseinandersetzungen beider hervorragenden Mathematiker nicht finden. Denn wenn Herr Darboux die Frage damit zu lösen glaubt, dass er den Satz, jede Differentialgleichung erster Ordnung habe ein Integral von der Form \(F(x,y,C)=0\), wo \(F\) die Eigenschaften einer analytischen Function besitzt, als eine unbegründete Annahme bezeichnet, so lässt sich dies zunächst nicht vereinen mit dem Cauchy'schen Beweis der Existenz von Integralen einer algebraischen Differentialgleichung mit beliebigen Anfangswerten. Aber auch die Zulässigkeit der fraglichen Form der Integralgleichung geht aus der Existenz der allgemeinen Integrale partieller Differentialgleichungen hervor, die zuerst von Cauchy und in neuerer Zeit von Frau v. Kowalewsky und Herrn Darboux selbst durch strenge Beweise festgestellt ist. --- Cayley findet die bezeichnete Schwierigkeit durch den Umstand beseitigt, dass die Integralgleichung gewöhnlich transcendent sei, und transcendente Curven im allgemeinen keine Enveloppe haben, und so wären die Ausnahmen in dem ersten Falle, dass nämlich die Differentialgleichung eine singuläre Lösung habe, auch Ausnahmen in dem anderen, dass eine transcendente Gleichung ein System von Curven mit einer Enveloppe darstelle. Wie wir indess sehen werden, hat die Existenz von Enveloppen oder singulären Lösungen mit der transcendenten oder algebraischen Natur der allgemeinen Integralgleichung nichts zu thun. Die Eigenschaft eines Systemes von Curven, Enveloppen zu besitzen, folgt nämlich bereits aus dem Verhalten dieses Systemes in einem beschränkten Gebiete der unabhängigen Variable, innerhalb. dessen gültige Darstellungen dieser Curven existiren. --- Wenn man nun, was bei der herkömmlichen Ableitung der Enveloppen aus der primitiven Gleichung nicht geschieht, in analytischer Form genau die Bedingung feststellt, unter welcher ihre Discriminantengleichung \(D=0\) keine eigentliche Lösung der aus der primitiven Gleichung abgeleiteten Differentialgleichung liefert, so zeigt sich in der That der eigentümliche Umstand, dass, wenn die Differentialgleichung in allgemeinen Coefficienten angesetzt wird, die Integralgleichung die besondere Beschaffenheit hat, dass das sie repräsentirende Curvensystem keine Enveloppe besitzt. Der Fall der Regel in der Differentialgleichung bedingt also einen Ausnahmefall in der Integralgleichung, und umgekehrt: Wenn die Integralgleichung in allgemeinen Coefficienten gegeben wird, so bietet die aus ihr abgeleitete Differentialgleichung den Ausnahmefall, singuläre Integrale zu besitzen. Die Thatsache übrigens, dass ein und dieselbe Eigenschaft gewisser Gebilde in der einen Darstellung als allgemeiner, in der anderen als besonderer Fall erscheint, steht nicht vereinzelt da. So hat eine Curve in Punktcoordinaten, mit allgemeinen Coefficienten angesetzt, keine Doppelpunkte. Wird dagegen die Gleichung einer Curve in Liniencoordinaten gegeben, so müssen die Coefficienten eine gewisse Bedingung erfüllen, damit keine Doppelpunkte existiren. Das Umgekehrte gilt rücksichtlich der Existenz von Doppeltangenten. Die Existenz einer Enveloppe hängt in der That lediglich von der Natur der Curvenschar ab und nicht von ihrer Darstellung. Von der Darstellungsform hängt nur ab, ob die Existenz oder Nichtexistenz einer Enveloppe als der allgemeinere Fall erscheint. Zunächst von der Differentialgleichung ausgehend, werden wir uns der Principien bedienen, die der wichtigen Abhandlung des Herrn Fuchs ``Ueber die Differentialgleichungen, deren Integrale feste Verzweigungspunkte besitzen'' (Berl. Ber. 1884. 699, JFM 16.0248.01) zu Grunde liegen. Ihre wesentliche Bedeutung liegt in der Zerlegung der Discriminante \(\Delta\) der Differentialgleichung in ihre linearen Teiler und in der Entwickelung der verschiedenen zusammenhängenden Zweige von \(y'\) als algebraischer Function von \(y\), wie sie durch die Differentialgleichung gegeben ist, in Reihen, die nach Potenzen eines solchen Teilers \(y-\eta\) fortschreiten, und deren Coefficienten, ebenso wie \(\eta\), von \(x\) abhängig sind. Integrirt man die in dieser Form erhaltenen Differentialgleichungen mit der Bestimmung, dass für einen willkürlichen Wert \(c\) von \(x\) das Integral \(y\) mit \(\eta\) übereinstimmt, so erhält man, jeder Gruppe von zusammenhängenden Zweigen von \(y'\) entsprechend, eine Darstellung von \(y-\eta\) durch eine Reihe, die nach Potenzen von \(x-c\) fortschreitet, falls eine solche überhaupt existirt. Der Exponent der niedrigsten Potenz in diesen Reihen, je nachdem er nämlich in allen nicht grösser oder in einigen grösser als 1 ist, und der andererseits eintretende Fall, dass gewisse dieser Darstellungen sich auf \(y-\eta=0\) reduciren, bilden charakteristische Merkmale dafür, dass \(y-\eta\) kein Integral oder ein singuläres Integral, also eine Enveloppe einer Schar entsprechender Integralcurven, oder endlich ein particuläres Integral darstellt, wobei die beiden letzteren Eigenschaften vereinigt sein können. Den Schluss des ersten Abschnittes bildet der Nachweis, dass jede algebraische Differentialgleichung erster Ordnung und \(n^{\text{ten}}\) Grades in Beziehung auf \(y'\) eine Integralgleichung zulässt, welche in der Umgebung eines willkürlichen Wertepaares \(x=a\), \(y=b\), wobei nur eine Anzahl isolirter Wertepaare ausgeschlossen ist, auf unendlich viele Arten in der Form \(F(x,y,C)=0\) dargestellt werden kann, worin \(F\) eine ganze Function \(n^{\text{ten}}\) Grades in Beziehung auf die willkürliche Constante \(C\) ist, während die Coefficienten nach ganzen positiven Potenzen von \(x-a\), \(y-b\) fortschreitende und einen gewissen Convergenzbereich besitzende Reihen sind. Im zweiten Abschnitte legen wir eine endliche Gleichung \(F(x,y,C)=0\) vom Grade \(n\) in Bezug auf \(C\) und mit analytischen Functionen von \(x\) und \(y\) als Coefficienten der Potenzen von \(C\) zu Grunde und leiten daraus durch Elimination der Constanten die Differentialgleichung ab, welche im allgemeinen durch einen von \(y'\) unabhängigen Factor von der algebraischen Differentialgleichung abweichen wird, der die primitive Gleichung der Voraussetzung nach genügen soll. Hierbei zeigt sich, dass die durch Elimination von \(C\) aus \(F(x,y,C)=0\), \(\frac{\partial F(x,y,C)}{\partial C}=0\) hervorgehende Discriminantengleichung \(D=0\) die abgeleitete Gleichung zwar stets befriedigt, aber darum doch nicht als Integral betrachtet werden kann, falls mit \(D=0\) nur der erwähnte, von \(y'\) freie Factor verschwindet, während der eigentlichen Differentialgleichung durch \(D=0\) nicht genügt wird. Damit ist die Bedingung festgestellt, wann die durch \(F(x,y,C)=0\) repräsentirte Curvenschar keine Enveloppe hat. Indem wir hier ebenfalls auf die linearen Teiler \(y-\eta\) von \(D\) eingehen und die verschiedenen Zweige von \(C\) als Functionen von \(y\) in Reihen nach Potenzen von \(y-\eta\) mit von \(x\) abhängenden Coefficienten entwickeln, ergeben sich durch Umkehrung ebenso viele Darstellungen von \(y-\eta\) nach Potenzen von \(x-c\), wobei \(C\) derart particularisirt wird, dass \(y\) für den willkürlichen Wert \(c\) von \(x\) mit \(\eta\) übereinstimmt. Hinsichtlich dieser Reihen, insofern ihre Form oder Existenz charakteristische Merkmale für die fragliche Beschaffenheit der Curve \(y=\eta\) darbieten, finden sich die aus der Betrachtung der Differentialgleichung gewonnenen Ergebnisse bestätigt. Da somit die von der Integralgleichung und der Differentialgleichung ausgehenden Untersuchungen zu übereinstimmendem Ziele führen, verliert die Behauptung einer angeblichen Incongruenz beider Betrachtungsweisen jede Berechtigung.'' Die gewonnenen Resultate werden zum Schluss durch 5 Beispiele erläutert.