Zur Theorie der vollständigen Lösungen der Differentialgleichungen erster Ordnung zwischen zwei Variabeln. (Auszug aus einem Briefe an A. Mayer.). (Q1527622)

Herr A. Mayer hat gezeigt (Math. Ann. XXXVII. 399-403, F. d. M. XXII. 1890. 322, JFM 22.0322.03), dass, wenn \(y=\varphi(x,c)\) das vollständige Integral einer in Bezug auf \(y'\) irreduciblen Differentialgleichung \(F(x,y,y')=0\) ist, es unendlich viele Functionen \(c\) von \(x\) giebt, die eine vollständige Lösung dieser Differentialgleichung in eine andere vollständige Lösung derselben transformiren, und zwar erhält er sie alle durch Integration einer gewissen Differentialgleichung \((n-1)^{\text{ter}}\) Ordnung für \(c\) als Function von \(x\). Herr Hamburger liefert nun den interessanten Nachweis, dass man diese Werte von \(c\) als Functionen von \(x\) durch bloss algebraische Operationen aus einer vollständigen Lösung der gegebenen Differentialgleichung ableiten kann. Es sei \[ F(x,y,y')\equiv(y'-\psi_1)(y'-\psi_2)\dots(y'-\psi_n), \] und das Integral von \(y'-\psi_k=0\) sei \(u_k=\) const; ferner sei \[ (u_2-c)(u_3-c)\dots(u_n-c)\equiv f_1(x,y,c). \] Man eliminire nun \(y\) aus den beiden Gleichungen \[ f_1(x,y,\gamma) = 0,\qquad u_1 - c = 0, \] wo \(\gamma\) gleichfalls eine willkürliche Constante ist; dann erhält man eine Gleichung zwischen \(c\), \(\gamma\) und \(x\), und jeder durch diese Gleichung definirte Wert von \(c\) als Function von \(x\) führt das Integral \(u_1-c=0\) in eine ebenfalls vollständige Integralgleichung von \(F=0\) mit der willkürlichen Constante \(\gamma\) über.