Ueber die linearen Relationen zwischen den zu verschiedenen singulären Punkten gehörigen Fundamentalsystemen von Integralen der Riemann'schen Differentialgleichung. (Q1527646)

Es handelt sich darum, die fraglichen Relationen in einer in Bezug auf die singulären Punkte symmetrischen Form zu erhalten. Die Riemann'sche Differentialgleichung ist bekanntlich durch die drei singulären Punkte \(a\), \(b\), \(c\) und die zugehörigen Exponenten \(\lambda'\), \(\mu'\), \(\nu'\); \(\lambda''\), \(\mu''\), \(\nu''\) bestimmt. Dabei besteht die Gleichung \[ \lambda' + \lambda'' + \mu' + \mu'' + \nu' + \nu'' = 1, \] und es wird angenommen, dass keine der Differenzen \(\lambda'-\lambda''\), \(\mu'-\mu''\), \(\nu'-\nu''\) eine ganze Zahl ist. Die Differentialgleichung bleibt bei einer Gruppe von 48 Substitutionen ungeändert, deren erzeugende sind: \[ \Lambda = (\lambda'\lambda''),\quad M = (\mu'\mu''),\quad N = (\nu'\nu''), \] \[ S = (abc)(\lambda'\mu'\nu')(\lambda''\mu''\nu''),\quad T(bc)(\mu'\nu')(\mu''\nu''). \] Bei Anwendung sämtlicher Substitutionen dieser Gruppe auf ein bestimmt normirtes Fundamentalintegral \[ P^\lambda \left\{\begin{matrix} \l&\quad\l&\quad\l&\quad\l\\ a&b&c&\\ \lambda'&\mu'&\nu'&x\\ \lambda''&\mu''&\nu''&\end{matrix}\right\} \] geht dieses in 12 verschiedene Functionen über, die so in übersichtlicher Weise definirt werden, und es wird alsdann gezeigt, wie man aus einer einzigen Relation zwischen den Fundamentalsystemen, die auf dem von Gauss eingeschlagenen Wege gewonnen wird, alle übrigen durch blosse Buchstabenvertauschung herleiten kann. Diese Gauss'schen Relationen vereinfachen sich, wenn man die Jordan'sche Normirung der Fundamentalintegrale anwendet, und zwar erhält man dann die Relationen in der Riemann'schen Form. Eine weitere Vereinfachung wird erreicht durch eine andere Normirung der Fundamentalintegrale, die für die Gruppe der Schwarz'schen \(s\)-Function auf die eleganten Papperitz'schen Formeln führt. (Math. Ann. XXVII; F. d. M. XVIII. 1886. 434, JFM 18.0434.01).