Ueber partielle Differentialgleichungen erster Ordnung. (Q1527687)

Für ein beliebiges System von partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, welches die Integrabilitätsbedingungen erfüllt, kann man die Existenz von Charakteristiken beweisen und die Integration desselben auf die eines Systemes gewöhnlicher Differentialgleichungen zurückführen. Verfasser beweist zu dem Ende folgenden Satz: Um ein vollständiges System partieller Differentialgleichungen erster Ordnung \[ F_1(z,x_1,\dots,x_n,p_1,\dots,p_n) = 0,\,\dots,\,F_r(z,\dots,p_n) = 0, \] wo die \(F\) solche nebst ihren ersten und zweiten Differentialquotienten eindeutige, endliche und stetige Functionen sind, für welche die Ausdrücke: \[ \sum_{c=1}^n \left\{\frac{\partial F_{\mathfrak a}}{\partial p_c} \left(\frac{\partial F_{\mathfrak b}}{\partial x_c} + p_c\frac{\partial F_{\mathfrak b}}{\partial z}\right) - \frac{\partial F_{\mathfrak b}}{\partial p_c} \left(\frac{\partial F_{\mathfrak a}}{\partial x_c} + p_c\frac{\partial F_{\mathfrak a}}{\partial z}\right)\right\} \] für alle Wertsysteme der \(z\), ..., \(p_n\) verschwinden, welche die obigen Gleichungen befriedigen, zu integriren, bestimme man die Grössen \(z\), ..., \(p_n\) und die Hülfsgrösse \(p\) als Functionen von \[ u_\nu = y_\nu t\qquad(\nu = 1,\dots,r) \] durch das System gewöhnlicher Differentialgleichungen \[ \begin{aligned} \frac{dz}{dt} &= \frac1p\sum_{b=1}^n p_b\frac{\partial F}{\partial p_b},\quad \frac{dx_{\mathfrak a}}{dt} = \frac1p \frac{\partial F}{\partial p_{\mathfrak a}},\\ \frac{dp_{\mathfrak a}}{dt} &= -\frac1p\left(\frac{\partial F}{\partial x_{\mathfrak a}} + p_{\mathfrak a}\frac{\partial F}{\partial z}\right),\quad \frac{dp}{dt} = \frac{\partial F}{\partial z},\end{aligned} \] wo: \[ F = \sum_{c=1}^n F_cy_c, \] und durch die Anfangsbedingungen, dass \(z\), ..., \(p_n\) und \(p\) in \(z^0\), ..., \(p_n^0\) und \(-1\) für \(t=0\) übergehe, wo die \(z^0\), ..., \(p_n^0\) solche Functionen von \(n-r\) gewissen Parametern sind, dass \(z\), ..., \(p_n\) von \(n\) wesentlichen Parametern abhängen; diese Anfangsbedingungen können immer ohne Integration erfüllt werden.