Ueber gewisse partielle Differentialgleichungen höherer Ordnung. (Q1527714)

Die in früheren Arbeiten (Journ. de Math. (4) VI, Teixeira J. X, Prag. Ber. 1892, F. d. M. XXII. 1890. 363, JFM 22.0363.01; JFM 22.0363.02, und XXIV. 1892. 295, JFM 24.0295.02) angestellten Untersuchungen des Verfassers über die partiellen Differentialgleichungen, die aus der Laplace'schen Gleichung \(\Delta u=\sum\limits_{i=1}^{i=\varrho}\frac{\partial^2u}{\partial x_i^2}=0\) durch Iteration entstehen, werden hier zusammengefasst und erweitert. Als wesentlich verschieden zeigen sich die Fälle, in denen \(\varrho\) eine gerade oder ungerade Zahl ist. Im letzteren Falle ist \[ u = g_{n-1}(r^2) + \frac1{r^{\varrho-2}}h_{n-1}(r^2), \] wo \(r=\sum\limits_{i=1}^{i=\varrho}(x_i-a_i)^2\) und \(g_{n-1}\), \(h_{n-1}\) zwei ganze Functionen des Grades \(n-1\) mit beliebigen constanten Coefficienten bedeuten, eine Lösung der Gleichung \((2n)^{\text{ter}}\) Ordnung \(\Delta^n(u)=0\). Ist aber \(\varrho\) eine gerade Zahl \(=2\sigma\), dann erhält man als Lösung: \[ u =\frac1{r^{2\sigma-2}} g_{n+\sigma-2}(r^2) + \log\frac1r\cdot h_{n-\sigma}(r^2)\quad(n>\sigma-1\text{ vorausgesetzt}), \] wo die Indices die Grade von \(g\) und \(h\) bezeichnen. Es wird bewiesen, dass die obigen Ausdrücke die allgemeinsten Functionen von \(r\) sind, die der Gleichung \(\Delta^nu=0\) genügen, wobei eine interessante Anwendung des Günther'schen Verfahrens für die Bestimmung der Fundamentalgleichung (J. für Math. CVII; F. d. M. XXIII. 1891. 324, JFM 23.0324.01) auf die hier zu betrachtende lineare Differentialgleichung \((2n)^{\text{ter}}\) Ordnung für \(u\) als Function von \(r\) gemacht wird. Das Resultat wird noch dahin verallgemeinert, dass \(u\) als Function von \(v\) angenommen wird, und der Fall, dass \(v\) eine Function von \(r\) ist, wird durchgeführt. Zum Schluss wird folgende Gleichung, die eine Verallgemeinerung des Green'schen Satzes enthält, abgeleitet: \[ \int(U\Delta^mV - V\Delta^mU)d\omega = \sum_{\lambda=0}^{\lambda=m-1} \left(\Delta^\lambda V\frac{\partial\Delta^{m-1-\lambda}U}{\partial n} - \Delta^\lambda U\frac{\partial\Delta^{m-1-\lambda}V}{\partial n}\right)d\sigma, \] wo \(\Delta^0 U=U\) zu setzen ist. Bemerken wir noch, dass für \(\varrho=2\) und \(\varrho=3\) für die Potentiale \(n^{\text{ter}}\) Ordnung, die man mit Hülfe der Lösungen \(u\) bilden kann, die der Poisson'schen Gleichung analogen Relationen entwickelt werden.