Zur Theorie der infinitesimalen Transformationen und im Besonderen der infinitesimalen Berührungstransformationen der Ebene. (Q1527718)

Der Zweck dieser Arbeit ist, die Lie'sche Theorie der infinitesimalen Transformationen und ihrer Verwertung für die Integration von Differentialgleichungen so darzustellen, dass von allen Beziehungen zur Theorie der Transformationsgruppen abgesehen wird. In \S\ 1 denkt sich der Verfasser ein \(r\)-gliedriges vollständiges System in den Veränderlichen \(x_1\), ..., \(x_n\) vorgelegt und fragt nach allen Operationen: \[ W\left(x_1,\dots,x_n;\,\varphi,\,\frac{\partial\varphi}{\partial x_1},\dots,\frac{\partial\varphi}{\partial x_n}\right)\equiv W\varphi \] von solcher Beschaffenheit, dass mit \(\varphi\) stets zugleich auch \(W\varphi\) eine Lösung des vollständigen Systems ist. Durch die Beantwortung dieser Frage wird er von selbst darauf geführt, unter den betreffenden Operationen die von der Form: \[ W\varphi = \sum_{\nu}^{1,\dots,n} \xi_\nu(x_1,\dots,x_n)\frac{\partial\varphi}{\partial x_\nu} \] zu betrachten, d. h. die infinitesimalen Transformationen, die im Lie'schen Sinne das vollständige System invariant lassen. Er erhält zugleich das Lie'sche Kriterium dafür, dass eine infinitesimale Transformation das vollständige System invariant lässt. In \S\ 2 wird das unbeschränkt integrable totale System betrachtet, das mit dem vollständigen Systeme zusammenhängt, und es werden die infinitesimalen Transformationen eingeführt, die ein solches totales System invariant lassen, diesmal aber als wirkliche unendlich kleine Transformationen. Zugleich wird definirt, was es heisst, dass eine gewöhnliche Differentialgleichung \(n^{\text{ter}}\) Ordnung eine infinitesimale Transformation gestattet. In \S\ 3 wird gezeigt, wie man alle linearen homogenen partiellen Differentialgleichungen findet, die eine gegebene infinitesimale Transformation gestatten. In \S\ 4 werden die infinitesimalen Transformationen betrachtet, die eine gewöhnliche Differentialgleichung \(n^{\text{ter}}\) Ordnung \((n>1)\) zwischen \(x\) und \(y\) invariant lassen, und damit kommt der Verfasser auf die infinitesimalen Berührungstransformationen und Punkttransformationen der Ebene und auf deren erweiterte Transformationen im Sinne von Lie. In \S\ 5 wird gezeigt, wie man alle Differentialgleichungen \(n^{\text{ter}}\) Ordnung zwischen \(x\) und \(y\) findet, die eine gegebene infinitesimale Berührungstransformation oder Punkttransformation der Ebene gestatten. In \S\ 6 betrachtet der Verfasser eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung zwischen \(x\) und \(y\), die eine bekannte infinitesimale Punkt- oder Berührungstransformation gestattet, und beweist den bekannten Satz des Herrn Lie, dass man dann ohne Integration einen Euler'schen Multiplicator der Gleichung finden kann. In \S\ 7 wird gezeigt, welchen Nutzen man aus einer bekannten infinitesimalen Transformation ziehen kann, die eine gegebene lineare homogene partielle Differentialgleichung erster Ordnung invariant lässt. Dies wird in \S\ 8 auf eine gewöhnliche Differentialgleichung \(n^{\text{ter}}\) Ordnung zwischen \(x\) und \(y\) angewandt, die eine bekannte infinitesimale Berührungstransformation gestattet. \S\ 9 endlich enthält die Durchführung der Rechnung an zwei speciellen Differentialgleichungen von der zweiten und der dritten Ordnung.