Generalization of the foundations of ordinary complex functions. I, II. (Q1527790)

Siehe JFM 25.0667.01. Es sei \((e_1, e_2,\dots,e_n)\) ein System von complexen Zahlen, die aus \(n\) unabhängigen Einheiten \(e_1\), \(e_2\), ..., \(e_n\) zusammengesetzt sind. In diesem System werde von der Multiplication zunächst nur vorausgesetzt, dass sie im allgemeinen umkehrbar und mit der Addition distributiv verknüpft sei. Bezeichnen nun \(f_1\), \(f_2\), ..., \(f_n\) analytische Functionen der \(n\) gewöhnlich complexen Zahlen \(x_1\), \(x_2\), ..., \(x_n\), so kann man die complexe Zahl \(f=f_1e_1+f_2e_2+\cdots+f_ne_n\) als Function des Argumentes \(x=x_1e_1+x_2e_2+\cdots+x_ne_n\) ansehen. Aendert sich \(x\) um \(dx=dx_1e_1+dx_2e_2+\cdots+dx_ne_n\), so ändert sich \(f\) um \(df=\sum\limits_{i,k} \frac{\partial f_i}{\partial x_k}dx_ke_i\). Der Verfasser bezeichnet nun \(f\) insbesondere als ``analytische'' Function des Argumentes \(x\), wenn die von \(dx\) unabhängigen Zahlen \(f'\) und \('f\) im System \((e_1, e_2,\dots,e_n)\) so bestimmbar sind, dass \(df=f'dx=dx'f\) ist, und wenn ferner (wenigstens für gewisse Functionen \(f\)) die Functionen \(f'\) und \('f\) alle Werte der Umgebung einer gewissen Stelle annehmen, falls das Argument \(x\) alle Werte der Umgebung einer bestimmten Stelle erhält. Die Existenz solcher analytischen Functionen ist an die Bedingung gebunden, dass die Gleichung \(uy=yv\) in dem betrachteten Zahlsysteme nach \(v\) bez. \(u\) lösbar ist, wenn \(y\) und \(u\), bez. \(y\) und \(v\) beliebig gegebene Zahlen des Systemes sind. Diese Bedingung verwandelt sich in die einfachere, dass die Multiplication commutativ sein muss, falls man die Voraussetzung einführt, dass das Zahlensystem einen Modul, d. h. eine die Gleichungen \(\varepsilon x=x\varepsilon=x\) befriedigende Zahl \(\varepsilon\) enthält. Zugleich ist dann \(f'='f\), d. h. die beiden Differentialquotienten einer analytischen Function fallen zusammen. Der Differentialquotient einer analytischen Function ist wieder eine analytische Function, wie unmittelbar aus den linearen homogenen Differentialgleichungen erster Ordnung hervorgeht, die für die analytischen Functionen charakteristisch sind. Stellt man nun die weitere Bedingung, dass die Integration ausführbar sein soll, so ergiebt sich, dass die Multiplication auch associativ sein muss, dass also die formalen Gesetze der Addition und Multiplication in dem Zahlsysteme \((e_1, e_2,\dots,e_n)\) völlig übereinstimmen müssen mit denen, welche im Gebiete der gewöhnlich complexen Zahlen gelten. Von den allgemeinen Sätzen, die dann für die analytischen Functionen bestehen, möge der besonders hervorgehoben werden, nach welchem das reguläre Verhalten an eine Stelle \(x_0\) die Entwickelbarkeit der Function in eine Potenzreihe \[ a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 +\cdots \] nach sich zieht, wobei die Coefficienten \(a_0\), \(a_1\), \(a_3\), ... Zahlen des Systemes \((e_1, e_2,\dots,e_n)\) bezeichnen. --- In der Abhandlung II (siehe JFM 25.0667.02) geht der Verfasser von gruppentheoretischen Gesichtspunkten aus. Jeder Transformation \(x_s'=f_s(x_1,\dots,x_n)\) \((s = 1, 2,\dots, n)\) im Raume von \(n\) Dimensionen ist eine bestimmte Schar von linearen homogenen Transformationen bei \(n\) Variabeln \(y_1\), ..., \(y_n\) zugeordnet, nämlich \[ y_s' = \sum_k \frac{\partial f_s}{\partial x_k}y_k\qquad(s = 1,2,\dots,n), \] wobei \(x_1\), ..., \(x_n\) als Parameter anzusehen sind. (Diese Schar stellt die Transformation der Umgebung der Stelle \(x_1\), ..., \(x_n\) in erster Annäherung dar.) Der Verfasser stellt nun die Frage: Gegeben ist eine \(r\)-gliedrige homogene lineare Gruppe \(\Gamma\) in \(y_1\), \(y_2\), ..., \(y_n\). Welches sind alle Transformationen \(x_s'=f_s(x_1,\dots,x_n)\), deren zugeordnete lineare homogene Transformationen der Gruppe \(\Gamma\) angehören? Die gesuchten Transformationen bilden eine endliche oder unendliche Gruppe \(G\). In diese Fragestellung ordnet sich einerseits die von Picard, andererseits die in Abhandlung I (siehe JFM 25.0667.01) vom Verfasser gegebene Verallgemeinerung der analytischen Functionen ein. Die letztere ergiebt sich, wenn die Gruppe \(\Gamma\) einfach transitiv ist und aus lauter mit einander vertauschbaren Transformationen besteht. Da die Rechnungsgesetze in dem Zahlsystem \((e_1, e_2,\dots,e_n)\) mit denen im Gebiete der gewöhnlich complexen Zahlen im wesentlichen übereinstimmen, so lassen sich viele der in letzterem Gebiete gültigen Sätze auf das erstere Zahlsystem übertragen. Hiervon macht der Verfasser eine interessante Anwendung, indem er die endlichen continuirlichen Gruppen bestimmt, die in der hier in Betracht kommenden Gruppe \(G\) enthalten sind. Diese kommen auf die linearen Gruppen bei einer Variable zurück, wobei man die auftretenden Grössen in das Zahlsystem \((e_1, e_2,\dots,e_n)\) zu verlegen hat.