On polynomials that for given limits of the variable most closely represent the simplest rational functions. (Q1527808)

Die Frage, ein Polynom \(p_0+P_1x+p_2x^2+\cdots+p_{n-1}x^{n-1}\) zu finden, welches am besten die Werte des Bruches \(\frac1{H-x}\) für die Grössen der Veränderlichen in den Grenzen \(x=-h\), \(x=+h\) darstellt, fällt mit der anderen Frage zusammen, die Coefficienten \(p_0\), \(p_1\), ... so zu bestimmen, dass die Function \[ 1 + (x-H)(p_{n-1}x^{n-1} + p_{n-2}x^{n-2} +\cdots+ p_1x + p_0) \] am wenigsten von der Null zwischen \(x=-h\) und \(x=+h\) abweicht. Um diese letzte Frage zu lösen, benutzt der Verfasser die Formeln seiner Abhandlung: ``Ueber die Functionen, die für gewisse Werte der Variabeln wenig von Null abweichen'' (F. d. M. XIV. 1882. 364, JFM 14.0364.01). Die Formeln dieser Abhandlung zeigen, dass das Polynom: \(p_0+P_1x+\cdots+p_{n-1}x^{n-1}\) sich in der Form des Bruches: \[ \frac{(H + \sqrt{H^2-h^2})^n + (H - \sqrt{H^2-h^2})^n - (x + \sqrt{x^2-h^2})^n - (x - \sqrt{x^2-h^2})^n}{[(H + \sqrt{H^2-h^2})^n + (H - \sqrt{H^2-h^2})^n](h-x)} \] darstellen lässt. Man kann auch dieses Polynom in der Form schreiben: \[ \frac{E[(H + \sqrt{H^2-h^2})^n + (H - \sqrt{H^2-h^2})^n]\frac1H}{(H + \sqrt{H^2-h^2})^n + (H - \sqrt{H^2-h^2})^n} \] \[ + \frac{E[(H + \sqrt{H^2-h^2})^n + (H - \sqrt{H^2-h^2})^n]\frac1{H^2}}{(H + \sqrt{H^2-h^2})^n + (H - \sqrt{H^2-h^2})^n}x \] \[ + \frac{E[(H + \sqrt{H^2-h^2})^n + (H - \sqrt{H^2-h^2})^n]\frac1{H^2}}{(H + \sqrt{H^2-h^2})^n + (H - \sqrt{H^2-h^2})^n}x^2 +\cdots. \] Dieser angenäherte Ausdruck des Bruches \(\frac1{H-x}\) kann in vielen Fällen benutzt werden. Der Verfasser giebt z.B. die Anwendung dieses Ausdruckes auf die Berechnung des Integrals \[ \int_{-h}^{+h} \frac{F(x)}{H-x} dx. \] Er zeigt, dass der Bruch \[ \frac{E[(H + \sqrt{H^2-h^2})^n + (H - \sqrt{H^2-h^2})^n]\int_{-h}^{+h} \frac{F(x)dx}{H-x}}{(H + \sqrt{H^2-h^2})^n + (H - \sqrt{H^2-h^2})^n} \] den angenäherten Ausdruck des Integrals giebt: \[ \int_{-h}^{+h} \frac{F(x)dx}{H-x} \] mit dem Fehler, dessen absoluter Betrag kleiner als \[ \frac{2h^n}{(H + \sqrt{H^2-h^2})^n + (H - \sqrt{H^2-h^2})^n} \] ist.