Ueber die zum elektromagnetischen Potentiale eines Kreisstromes associirte Function. (Q1527994)

Das von Beltrami gegebene Integral für die zur elektromagnetischen Potentialfunction eines Kreisstromes von der Intensität eins associirte Function: \[ (\varrho_2^2-\varrho_1^2)\int_0^{\frac{\pi}2} \frac{(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi)d\varphi}{\sqrt{\varrho_1^2\sin^2\varphi+\varrho_2^2\cos^2\varphi}} \] wird unter Benutzung der Schäfli'schen Relation: \[ (-1)^nJ^m(x)J^n(x) = \frac2{\pi} \int_0^{\frac{\pi}2} J^{m-n}(2x\cos\varphi)\cos(m+n)\varphi d\varphi \] auf die analog gebaute Form gebracht, wie sie das gleichfalls von Beltrami aufgestellte Integral \[ 2M\int_0^\infty (e^{-\sigma_1x}J^0(i\sigma_2x))^2dx \] für die Potentialfunction eines unendlich dünnen homogenen Kreisringes besitzt; diese Form lautet \[ (\varrho_2^2-\varrho_1^2)\int_0^\infty (e^{-\varrho_1x}J^1(x\sqrt{\varrho_2^2-\varrho_1^2}))^2dx, \] wo \(\varrho_1\) und \(\varrho_2\) das Minimum und das Maximum der Entfernung eines Punktes von der Peripherie des Kreisstromes ist.