Azione di un circuito voltaico di forma ellittica su di un ago magnetico di dimensioni finite ed avente il centro sull'asse. (Q1528053)

Eine elliptische Strombahn befinde sich in der Ebene des magnetischen Meridians; die im Mittelpunkte der Ellipse auf derselben errichtete Normale gehe durch den Mittelpunkt der Magnetnadel, die sich in der Horizontalebene frei bewegen kann; gesucht wird die Wirkung des Stromes auf die Nadel. Sei \(\theta\) der Winkel, um den die Magnetnadel aus ihrer Gleichgewichtslage abgelenkt bleibt; \(2l\) die Länge der Nadel; \(D\) der Abstand der beiderseitigen Mittelpunkte; \(r\) die Entfernung des Nordpols \(n\) von einem beliebigen Punkte \(M\) der Ellipse, \(\delta\) der Winkel von \(r\) gegen die in \(M\) an die Ellipse gelegte Tangente, so ist bekanntlich die Kraft \(f\), mit der \(n\) auf \(M\) wirkt, gegeben durch \[ f = \frac{k\mu ids\sin\delta}{r^2}, \] wo \(i\) die Stromstärke, \(k\) eine Constante bedeutet. Die Richtung dieser Elementarkraft ist bekanntlich senkrecht zur Ebene \(MM'n\). Deshalb wird die Kraft in zwei Componenten zerlegt, deren eine parallel der grossen Axe der Ellipse ist, während die andere senkrecht dazu die Richtung der Verbindungslinie \(CO\) der beiderseitigen Mittelpunkte hat. Hieraus wird das Drehungsmoment der Kraft berechnet, das der Pol \(n\) auf \(M\) ausübt, bezogen auf eine durch den Mittelpunkt \(O\) der Nadel gehende Verticalaxe. Wird desgleichen das Drehungsmoment der Wirkung des Südpols \(s\) auf \(M\) berechnet, wozu nur in dem vorigen Ausdruck \(l\) durch \(-l\) und \(\mu\) durch \(-\mu\) zu ersetzen ist, so ist die Summe dieser beiden Momente gleich dem des Erdmagnetismus \(H\), also: \[ \begin{split} \frac{H\sin\theta}{ib} &= \int_{\frac{\pi}2}^{\frac32\pi} \frac{a\cos\theta - (l+D\sin\theta)\sin\varphi}{[u^2 + D^2 + l^2 + 2Dl\sin\theta - 2al\cos\theta\sin\varphi]^\frac32}d\varphi\\ &+ \int_{\frac{\pi}2}^{\frac32\pi} \frac{a\cos\theta - (D\sin\theta-l)\sin\varphi}{[u^2 + D^2 + l^2 - 2Dl\sin\theta + 2al\cos\theta\sin\varphi]^\frac32}d\varphi;\end{split} \] \(u\) ist der Radiusvector \(CM\) der Ellipse. Die Integrale werden mit Rücksicht auf die Identitäten: \[ \begin{aligned} u &= a\sqrt{1-e^2\cos^2\varphi},\\ c^2 &= a^2 - b^2,\\ \varrho^2 &= a^2 + D^2 + l^2,\\ \lambda' &= D\sin\theta - a\cos\theta\sin\varphi - \frac{c^2}{2l}\cos^2\varphi,\\ \lambda &= D\sin\theta - a\cos\theta\sin\varphi + \frac{c^2}{2l}\cos^2\varphi\end{aligned} \] in einfachere übergeführt; es ist nämlich: \[ \begin{split} \frac{H\varrho^3\sin\theta}{ib} &= \int_{\frac{\pi}2}^{\frac32\pi} [a\cos\theta - (l+D\sin\theta)\sin\varphi]\left[1+\frac{2l}{\varrho^2}\lambda'\right]^{-\frac32}d\varphi\\ &+ \int_{\frac{\pi}2}^{\frac32\pi} [a\cos\theta - (D\sin\theta-l)\sin\varphi]\left[1-\frac{2l}{\varrho^2}\lambda\right]^{-\frac32}d\varphi.\end{split} \] Die Entwickelung in Reihen und die Integration ergiebt: \[ \begin{multlined} \frac{H\varrho^3}{2\pi ab}\tan\theta = i\left\{1 - \frac32\frac{l^2}{\varrho^2} + \frac34\frac{c^2}{\varrho^2}\right.\\ + \left.\frac{15}4\frac{l^2}{\varrho^4}\left[(a^2-4D^2)\cos^2\theta + 4D^2 - \frac{c^2}4 + \frac3{16}\frac{c^4}{l^2}\right] -\cdots\right\},\end{multlined}\tag{1} \] woraus ersichtlich ist, dass die Stromstärke \(i\) der Tangente des Ablenkungswinkels \(\theta\) nicht proportional ist. Bricht man die Reihe bei den Gliedern mit \(\frac{l^2}{\varrho^4}\) ab und setzt \(a=b=R\), also \(c=0\), so ergiebt sich der bekannte Ausdruck für eine kreisförmige Spirale: \[ i = \frac{H\varrho^3}{2\pi R^2}\left[1 - \frac32\frac{l^2}{\varrho^2} + 15\frac{l^2D^2}{\varrho^4} + \frac{15}4\frac{l^2}{\varrho^4}(R^2-4D^2)\cos^2\theta\right]^{-1}\tan\theta.\tag{2} \] Ein mit \(\tan\theta\) direct proportionaler Ausdruck für \(i\) folgt aus der allgemeinen Formel (1), wenn in derselben \(D=\frac12a\) gesetzt wird. Dies giebt einen Fingerzeig für Einrichtung und Anordnung einer Bussole, die der Helmholtz-Gaugain'schen ähnlich, jedoch mit einer elliptischen Spirale als Strombahn versehen ist.