New research on the series employed in the theory of planets (continuation and end). (Q1528275)

Ueber das erste Capitel dieser Arbeit, deren zweiter und letzter Teil hier vorliegt, ist in F. d. M. XXIII. 1891. 1223 (siehe JFM 23.1223.02) referirt worden. Das zunächst folgende zweite Capitel enthält fast ausschliesslich Studien über solche Differentialgleichungen zweiter Ordnung von der Form: \[ \frac{d^2y}{dv^2} + f\left(\frac{dy}{dv},y,v\right) = \Omega, \] welche sich nicht unmittelbar integriren lassen, von denen man aber eine ``angenäherte Lösung'' \(y=y_0\) kennt, derart, dass durch Einsetzen derselben in die Differentialgleichung (in welcher \(\omega\) als bekannte Function von \(v\) vorausgesetzt wird) ein ``Rest'' \(R\) dieser Lösung bleibt, nämlich: \[ R = \frac{d^2y_0}{dv^2} + f\left(\frac{dy_0}{dv},y_0,v\right) - \Omega. \] Dieser Rest bietet die Handhabe, die angenäherte Lösung zu verbessern. Die Differentialgleichungen, weiche der Verfasser zuerst betrachtet, enthalten die Function \(y\) und ihre erste Derivirte nur in Gestalt von Potenzen, wobei der Verfasser sich auf die Form beschränkt: \[ \begin{split} \frac{d^2y}{dv^2} &+ Y_{0,1}y + Y_{0,2}y^2 + Y_{0,3}y^3\\ &+ \{Y_{1,0} + Y_{1,1}y + Y_{1,2}y^2\}\frac{dy}{dv}\\ &+ \{Y_{2,0} + Y_{2,1}y\}\left(\frac{dy}{dv}\right)^2 = \omega,\end{split} \] während die \(Y\) bekannte Functionen von \(v\) sein sollen, welche nur rein trigonometrische Terme enthalten. Diese Gleichung wird vom Verfasser durch die Substitution einer neuen Veränderlichen \(z\) an Stelle von \(y\) in \[ \begin{split} y &= (1-\varphi_{0,1})z + \varphi_{0,2}z^2 + \varphi_{0,3}z^3 +\dots\\ &+ (\varphi_{1,0} + \varphi_{1,1}z + \varphi_{1,2}z^2 +\cdots)\frac{dz}{dv}\\ &+ (\varphi_{2,0} + \varphi_{2,1}z + \varphi_{2,2}z^2 +\cdots)\left(\frac{dz}{dv}\right)^2\\ &+ .\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.\end{split} \] umgeformt. Hier bedeuten die \(\varphi_{0,1}\), \(\varphi_{0,2}\) u. s. w. noch zur Verfügung stehende Functionen. Offenbar wird die Differentialgleichung für \(z\) von der dritten Ordnung und der Form: \[ \frac{d^2z}{dt^2} + Z = \Omega, \] wo \(Z\) augenscheinlich von \(z\), \(\frac{dz}{dv}\), \(\frac{d^2z}{dv^2}\), \(\frac{d^3z}{dv^3}\) und \(v\) abhängt, ebenso wie von den neuen Functionen \(\varphi\) und ihren ersten und zweiten Differentialquotienten. Der analytische Ausdruck für \(Z\), welcher vollständig abgeleitet wird, ist selbstverständlich sehr weitschichtig; in besonderen Fällen aber kann man \(Z\) bei Vernachlässigungen einiger ``unwesentlichen'' Glieder auf einfachere Formen bringen. Nach dieser allgemeineren Auseinandersetzung macht der Verfasser die Annahme, dass die gegebene Differentialgleichung die Form habe: \[ \frac{d^2y}{dv^2} + Y_1y + Y_2y^2 + Y_3y^3 = \Omega. \] In diesem Falle kann man die Differentialgleichung für \(z\) unter gewissen Einschränkungen (Vernachlässigung der Terme von der vierten Ordnung an) durch geeignete Bestimmung der Functionen \(\varphi\) auf die Form bringen: \[ \begin{split} \frac{d^2z}{dv^2} &+ \beta_{0,1}z + \beta_{0,2}z^2 + \beta_{0,3}z^3\\ &+ \{\beta_{1,0} + \beta_{1,1}z + \beta_{1,2}z^2\}\frac{dz}{dv}\\ &+ \{\beta_{2,0} + \beta_{2,1}z\}\left(\frac{dz}{dv}\right)^2 + \beta_{3,0}\left(\frac{dz}{dv}\right)^2\\ &= \Omega,\end{split} \] wo die \(\beta\) als sehr kleine Constanten angesehen werden. Man wird daher für \(z\) sehr leicht eine ``angenäherte Lösung'' erhalten und daher auch für \(y\). Sie sei \(=y_0\). Setzt man dann \(y=y_0+y_1\), so wird sich für \(y_1\) eine Differentialgleichung von derselben Form ergeben wie für \(y\), nur mit kleineren Coefficienten etc. Diese Principien wendet der Verfasser auf besondere Fälle an, z. B. den, dass die \(Y\) alle sehr klein sind, mit Ausnahme von \(Y_{0,1}\), welches sehr nahe gleich 1 vorausgesetzt wird. Es ist dem Referenten aber nicht möglich, in einem allgemeinen Referat die Entwickelungen des Verfassers und die oft nur angedeuteten Gründe der mannigfaltigsten Natur für die gewählten Wege darzulegen, weil die Ausführungen selbst sehr allgemein gehalten sind. Sie bestehen mehr aus Vorschriften, wie zu verfahren wäre, wenn man diesen oder jenen Zweck erreichen wollte. Der Verfasser wendet sich darauf zu solchen Differentialgleichungen, welche die Function \(y\) in trigonometrischer Form enthalten. Die zu behandelnde Grundgleichung ist wesentlich eine Verallgemeinerung derjenigen, welche der Verfasser im Jahre 1887 zum Studium der grossen Störungen der Planetenbahnen benutzt hat. Zuerst wird die Gleichung behandelt: \[ \frac{d^2T}{dv^2} = -A\sin(G_0+s_0T) - X_1 - \Omega_1, \] wo: \[ \begin{split} X_1 &= A_1\sin(G_1+s_1T) + A_2\sin(G_2+s_2T) +\cdots\\ &+ \{A_0'\sin(G_0+s_0T) + A_1'\sin(G_1+s_1T) +\cdots\}\frac{dT}{dv},\end{split} \] \[ \Omega_1 = a_1\sin H_1 + a_2\sin H_2 +\cdots \] und die \(G\) und \(H\) in der Form vorausgesetzt werden: \[ \begin{aligned} G_n &= 2\lambda_n v + 2B_n,\\ H_n &= \sigma_nv + b_n.\end{aligned} \] Der erste Ansatz zur Lösung dieser Differentialgleichung wird gegeben, indem man \(X_1\) und \(\Omega_1\) vernachlässigt und nur das ``Hauptglied'' --- \(A_0\sin(G_0+s_0T)\) nimmt, worauf die Lösung offenbar sofort durch elliptische Functionen erreicht werden kann. Nennt man dieselbe \(Z_0\) und setzt \[ T = Z_0 + \frac2{s_0}V_1, \] so kann man \(V_1\) als ein kleines Correctionsglied betrachten und den \(\sin (G_0+s_0T)\) nach Potenzen von \(V_1\) entwickeln, so dass die neue Differentialgleichung nach kleineren Reductionen die Form erhält: \[ \frac{d^2V_1}{d\xi^2} + k^2\cos2\operatorname{am}\xi V_1 - k^2\sin2\operatorname{am}\xi V_1^2 - \frac23k^2\cos2\operatorname{am}\xi V_1^3 +\cdots= -X-\Omega \] und in das Schema der früher betrachteten Gleichungen fällt. Wendet man die dort genannten Transformationen mit Hülfe der Functionen \(\varphi_{h,i}\) an, so erhält man für diese \(\varphi\) Differentialgleichungen von ein und derselben Form, nämlich: \[ \frac{d^2\varphi_{h,i}}{d\xi^2} - (2k^2\sin2\operatorname{am}\xi-k^2)\varphi_{hi} = W_{h,i}, \] wo die \(W\) vollständig bekannte Functionen sind, so dass die \(\varphi_{hi}\) sofort durch Integrale elliptischer Functionen darstellbar sind. Aus der Gleichung für \(V_1\) wird eine für \(\psi_1\): \[ \frac{d^2\psi_1}{d\xi^2} = -X -\Omega -\Sigma, \] während \[ V_1 = (1-\varphi_{0,1}).\psi_1 + \varphi_{1,0}\frac{d\psi_1}{d\xi} + \varphi_{0,2}\psi_1^2 +\cdots. \] Die letzte Differentialgleichung lässt sich, indem man \(X\), \(\Omega\) und \(\xi\) entwickelt, in eine neue umformen: \[ \frac{d^2T_1}{dv^2} = -A_1P_0\sin(G_1+s_1T_1) - X_2 +\cdots, \] welche genau dieselbe Form hat, wie die ursprüngliche etc. So ergiebt sich für \(T\) eine Entwickelung: \[ \begin{split} T &= Z_0 + Z_1 + Z_2 +\cdots\\ &+ \Phi_1 + \Phi_2 +\cdots\\ &+ .\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.,\end{split} \] deren Convergenz der Verfasser durch Betrachtungen der Grössenordnungen der einzelnen Terme nachweist. In besonderen Fällen wird die hier genannte Behandlung von \(V_1\) schwierig, wenn nämlich die ``elementaren Glieder'' zu einflussreich werden. Verfasser formt dann nach einer Transformation und Auflösung der elliptischen Functionen in trigonometrische die Differentialgleichung für \(V_1\) so um, dass statt \(\cos2\operatorname{am}\xi\), \(\sin2\operatorname{am}\xi\) etc. trigonometrische Ausdrücke eintreten; er wendet dann nochmals wiederholt sehr umständliche Transformationen an und erhält endlich unter gewissen ``Beschränkungen'' und ``Vernachlässigungen'' eine Differentialgleichung von der Form: \[ \frac{d^2y}{du^2} + a\sin2u\frac{dy}{du} + by + cy\left(\frac{dy}{du}\right)^2 = (1+\cdots)\Omega, \] wo \(a\), \(b\), \(c\), Constanten von bestimmten Grössenordnungen sind. Um eine Vorstellung davon zu geben, wie diese Gleichung weiter zu behandeln ist, betrachtet der Verfasser eine etwas einfachere, nämlich: \[ \frac{d^2y}{du^2} + \mu.y\cdot \frac{dy}{du} = -a\sin(\sigma u+b), \] und setzt, sich auf ein particuläres Integral beschränkend, \[ y = k_1\sin H + k_2\sin2H +\cdots\qquad (H = \sigma u+b). \] Darauf wird die allgemeinere Differentialgleichung: \[ \frac{d^2y}{du^2} + \mu.y. \frac{dy}{du} = Q \] angezogen, welche offenbar sofort einmal integrirt werden kann, wodurch sie sich nach Elimination von \(\frac{dy}{du}\) in: \[ \frac{d^2y}{du^2} + \left(\frac12u^2h + \mu\int Qdu\right)y - \frac12\mu^2y^3 = Q \] verwandelt. Wenn zu \(Q\), das nur eine trigonometrische Function von \(u\) sein soll, noch ein Glied \(R\), welches auch von \(y\) abhängen kann, hinzutritt, so wird \[ y = Y + Z \] gesetzt, die Differentialgleichung in zwei gespalten und weiter transformirt u. s. w. Im siebenten Paragraphen bespricht der Verfasser Gleichungen von der Form \[ \frac{d^2z}{dv^2} + Z.z - \beta_3z^3 = X, \] wo \(Z\) und \(X\) Functionen von \(v\) sein sollen und \(\beta_3\) als constant vorausgesetzt wird. Der Verfasser setzt \(z=y/(1+\psi)\), zerlegt die Differentialgleichung in zwei, betrachtet erst den Fall, dass \(Z\) constant ist, dann denjenigen, dass \(Z\) unter gewissen Einschränkungen variabel ist u. s. w. Es folgt das Studium der Differentialgleichung \[ \frac{d^2y}{dx^2} + (X + \alpha).y = 0, \] wo \(X\) eine bekannte Function von \(x\) ist derartig, dass das Integral der Gleichung \[ \frac{d^2y_1}{dx^2} = X.y_1 \] bekannt ist. Es wird gesetzt: \[ y = \psi_0.z + \psi_1\frac{dz}{dx} + \psi_2\frac{d^2z}{dx^2} +\cdots, \] wo die \(\psi\) noch zu bestimmende Functionen sind und \(z\) der Differentialgleichung genügen soll: \[ \frac{d^2z}{dt^2} = (\alpha + p)z, \] während \(p\) eine noch näher zu bestimmende Constante ist, die sofort in eine Summe \(p_1+p_3+p_5+\cdots\) aufgelöst wird. Für die \(\psi\) nimmt der Verfasser darauf die Differentialgleichungen: \[ \begin{aligned} \frac{d^2\psi_0}{dx^2} + X\psi_0 &= 0,\\ \frac{d^2\psi_1}{dx^2} + X\psi_1 &= -2\frac{d\psi_0}{dx},\\ \frac{d^2\psi_2}{dx^2} + X\psi_2 &= -2\frac{d\psi_1}{dx} - \frac{p_1}{a+p}\cdot\psi_0,\\ .\quad.\quad.\quad.\quad&.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.,\end{aligned} \] so dass die \(\psi\) successive bestimmt werden können. Da \[ z = C_1 e^{\nu x} + C_2e^{-\nu x}, \] so folgt: \[ y = C_1(P+\nu Q)e^{\nu x} + C_2(P-\nu Q)e^{-\nu x}, \] wobei: \[ \begin{aligned} P &= \psi_0 + \nu^2\psi_2 + \nu^4\psi_4 +\cdots,\\ Q &= \psi_1 + \nu^2\psi_3 + \nu^4\psi_5 +\cdots.\end{aligned} \] Man kann \(P\) und \(Q\) auch unmittelbar bestimmen, indem man den obigen Ausdruck für \(y\) einsetzt und die Differentialgleichung in zwei andere zerlegt. Letztere sind: \[ \begin{aligned} \frac{d^2P}{dx^2} + 2\nu^2\frac{dQ}{dx} + (X+\nu^2)P &= 0,\\ \frac{d^2Q}{dx^2} + 2\nu^2\frac{dP}{dx} + (X+\nu^2)Q &= 0.\end{aligned} \] Nach einer ganzen Reihe ähnlicher Entwickelungen kommt der Verfasser zuletzt auf Restbetrachtungen. Dieselben stützen sich auf Auswertung eines Integrals von der Form: \[ E = e^{-\nu x-\int zdx}\cdot \int\Phi.e^{\nu x+\int zdx}.dx. \] In dem nun folgenden verhältnismässig kurzen dritten Capitel kommt Verfasser auf die Anwendungen seiner Theorien zu sprechen, und zwar hauptsächlich auf die Theorie der von astronomischen Argumenten abhängenden Störungen und dann auf die Theorie der Librationen, von welcher bekanntlich die Theorie der Jupitermonde und neuerdings auch der Saturnmonde ein hervorragendes Beispiel giebt. Dass es bereits Laplace gelungen ist, die Libration zwischen drei Jupitermonden ohne Hülfe der elliptischen Functionen erschöpfend zu behandeln, ist nach dem Verfasser kein Beweis dafür, dass man letztere in schwierigen Fällen würde entbehren können.