The solution of linear vector equations in special cases. (Q1528583)

Die Lösung der linearen Vectorgleichung \(\varphi \varrho = \alpha\) ist von Hamilton in seinen bekannten ``Elementen'' und ``Vorlesungen'' für den allgemeinen Fall gegeben. Dabei spielen gewisse Vectorfunctionen und die drei Scalarfunctionen \[ \begin{aligned} & m = \frac{S\; (\varphi' \lambda \varphi' \mu \varphi' \nu)}{S \lambda \mu \nu},\\ & m' = \frac{S\; (\lambda \varphi' \mu \varphi' \nu + \mu \varphi' \nu \varphi' \lambda + \nu \varphi' \lambda \varphi' \mu)}{S \lambda \mu \nu},\\ & m'' = \frac{S\; (\mu \nu \varphi' \lambda + \nu \lambda \varphi' \mu + \lambda \mu \varphi' \nu)}{S \lambda \mu \nu},\end{aligned} \] eine wichtige Rolle. Wenn eine dieser Grössen oder mehrere derselben verschwinden, so wird die Hamilton'sche Lösung jedoch ungültig. Der Zweck des Verfassers ist, diese Lücke auszufüllen. Nach einer kurzen Erörterung des allgemeinen Falles wird zuerst der Fall betrachtet, wo \(m\) verschwindet. Es zeigt sich, dass die Lösung aus der Hamilton'schen identischen Gleichung \[ m - m' \varphi + m'' \varphi^2 - \varphi^3 = 0 \] durch Operation mit \(\varphi^{-1}\) übergeht in die Form \[ m' \varrho = m'' \varphi \varrho - \varphi^2 \varrho + \varphi^{-1}0, \] wo \(\varphi^{-1}0\) die allgemeine Lösung der Gleichung \(\varphi \varrho = 0\) bedeutet, welche in diesem Falle stets eine unbestimmte Scalargrösse enthält. Ausserdem werden die Fälle \(m' = 0\), \(m'' = 0\) ausführlich erörtert.