Logarithmische Coördinaten. (Q1528621)

Die Abhandlung fängt an mit einer übersichtlichen Darstellung der von Hrn. R. Mehmke im ``Civilingenieur'' XXXV veröffentlichten Arbeit ``Neue Methode, beliebige numerische Gleichungen mit einer Unbekannten graphisch aufzulösen''. Bekanntlich kommt diese Methode darauf hinaus, dass die Gleichung in die Form \[ f_1 (x) = f_2 (x) \] geschrieben wird, sodass die beiden Seiten keine Zeichenwechsel enthalten, und die logarithmischen Bilder der beiden Curven \[ y = f_1 (x), \quad y = f_2 (x) \] construirt werden, indem auf ein beliebig gewähltes Axensystem die correspondirenden Werte von \(\log x\) und \(\log y\) abgetragen werden. Ist \(f_1 (x) = ax^n\), so ist das logarithmische Bild eine Gerade. Wird \(f_1 (x) = a x^n + bx^m\) angenommen, so setze man \[ (1)\quad \quad y_1 = ax^n, \quad y_2 = bx^m, \] \[ \log y = \log y_1 + \log \left( 1 + \frac{y_2}{y_1} \right), \] construire die logarithmischen Bilder der beiden Curven (1), und der zugehörige Wert von \(\log y\) kann sodann auf einfache Weise mittelst der ``Additionscurve'' gefunden werden, deren Punkte die Coordinaten haben \[ \xi = \log z, \quad \eta = \log \left( 1 + \tfrac{1}{z} \right), \] wenn \(z\) alle Werte durchläuft. Indem man \(\xi = \log y_1 - \log y_2\) annimmt, erhält man sodann \[ \log y = \log y_1 + \eta. \] Die skizzirte Methode leistet ersichtlich die Auflösung der beiden Gleichungen mit zwei Unbekannten \(y = f_1 (x), \; y = f_2 (x)\). Allgemeiner wird nun das Problem behandelt, zwei beliebige Gleichungen mit zwei Unbekannten zu lösen oder das logarithmische Bild einer beliebigen algebraischen Curve zu construiren. Zunächst werden zwei specielle Fälle erörtert. 1. Es sei die gegebene Gleichung von der Form \(y^n f(x) = \varphi (x)\). Setzt man nun \(y_1 = f (x),\; y_2 = \varphi (x)\), und construirt die logarithmischen Bilder dieser Curven, so ist aus \(n \log y = \log y_2 - \log y_1\) leicht der jedem Werte von \(\log x\) zugehörige Wert von \(\log y\) zu finden. Anwendung dieser Principien auf die Gleichung \(y^n = p x^n\) und auf diejenige der Ellipse, Hyperbel, Cissoide und Hypocykloide. 2. Die Gleichung zwischen \(x\) und \(y\) sei in Bezug auf \(y^n\) vom zweiten Grade. Als Beispiel wird das logarithmische Bild der allgemeinen Gleichung zweiten Grades construirt. Hat die gegebene Gleichung die allgemeine Form \[ ax^m y^n + bx^p y^q + \cdots = 0, \] so construire man zuerst das logarithmische Bild der Curve \(ax^m y^n = \alpha\), wofür sich eine Gerade ergiebt. Die Gleichung \(a x^m y^n + b x^p y^q = \beta\) wird sodann in die beiden andern zerlegt \[ a x^m y^n = \alpha \quad \text{und} \quad bx^p y^q = \beta - \alpha, \] wo \(\alpha\) eine beliebige veränderliche Grösse ist. Das logarithmische Bild einer jeden dieser Gleichungen besteht aus einem System paralleler Geraden, und die gesuchte Curve ergiebt sich aus den Schnittpunkten correspondirender Geraden der beiden Systeme. Als Beispiel wird das Cartesische Folium und die Cissoide verwendet. In ähnlicher Weise behandelt der Verfasser Gleichungen mit mehr als zwei Gliedern.