Bestimmung einer binären Form aus Anfangsgliedern ihrer Covarianten. (Q1528647)

Der Inhalt der Arbeit kann aus dem Titel nur unvollkommen erraten werden. Den Mittelpunkt des Ganzen bildet ein merkwürdiges System von Gleichungen, das in ebensoviel Unbekannten quadratisch ist; durch eigenartige Operationen gelingt es jedoch, das gegebene System in ein anderes, äquivalentes überzuführen, das in den Unbekannten nur noch linear ist. (Derartige Gleichungssysteme sind übrigens neuerdings mehrfach hervorgetreten.) Das vorliegende System steht zu einer Reihe bedeutungsvoller Fragen der Invariantentheorie binärer Formen in inniger Beziehung. Als nächstliegender Ausgangspunkt mag folgender dienen. Bekanntlich lassen sich in unendlich mannigfaltiger Art Systeme von associirten Formen einer binären Grundform \(f(x)\) aufstellen, derart, dass jede Covariante von \(f\) rational durch die associirten Formen eines Systems ausdrückbar ist. Unter eben diesen Systemen zeichnen sich zwei dadurch aus, dass die gemeinte rationale Darstellung nur durch eine Potenz von \(f\) zu einer eigentlich rationalen wird und also, abgesehen von einer solchen Potenz, eine ganzrationale ist. Das eine der beiden Systeme besteht aus den schon von Hermite untersuchten ``Schwesterformen'' \(G\). Dieselben treten bereits in der elementaren Gleichungstheorie auf: bringt man nämtlich eine allgemeine Gleichung \(n^{\text{ten}}\) Grades \(f(x) = 0\) in bekannter Weise auf die Form, in der der zweite Coefficient verschwindet, so sind die übrigen Coefficienten geradezu die Leitglieder der Schwesterformen \(G\). Das zweite ausgezeichnete System associirter Formen entspringt unmittelbar aus dem Begriffe der Ueberschiebung; es sind die geraden Ueberschiebungen von \(f\) über sich selbst nebst deren Functionaldeterminanten mit \(f\): es heisse das System der Formen \(J\). Während sich die Darstellung einer Covariante durch die \(G\) nach Hermite sehr einfach und elegant vollzieht, fehlte bisher die Kenntnis eines entsprechenden allgemeinen Gesetzes für die \(J\), da sich die bei Clebsch und Gundelfinger vorhandenen Ansätze doch nur uf eine successive und praktische Berechnung der \(G\) aus den \(J\) beschränken. Diese Hauptfrage, eine allgemeine Darstellung der \(G\) durch die \(J\), reducirt der Verf. auf eine anfachere. Man weiss nämlich, in welchen Productcombinationen die \(J\) auftreten, und braucht daher nur die numerischen Factoren \(C\) zu ermitteln, mit welchen jene Producte behaftet sind. Um noch eine weitere Aufgabe anzuführen, die ebenfalls auf die Bestimmung der \(C\) hinausläuft: ``Man soll die Coefficienten von \(f\) durch die Leitglieder der \(J\) ausdrücken''; eben dieser Umstand hat den Titel der Abhandlung veranlasst. Die hierbei aufzulösenden Bestimmungsgleichungen zwischen den \(C\) sind eben von der Eingangs erwähnten Art. In einer Reihe besonderer Fälle werden die Zahlwerte der \(C\) wirklich berechnet.