Anwendung der Modul-Systeme auf einen geometrischen Satz und auf das Trägheitsgesetz der quadratischen Formen. (Q1528663)

Zunächst zeigt der Verfasser mit Hülfe des Trägheitsgesetzes der quadratischen Formen den einfachen Satz: Wenn im Raume von \(n\) Dimensionen ein Kegel zweiter Ordnung \[ x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_{\alpha}^{2} - x_{\alpha + 1}^{2} - x_{\alpha + 2}^{2} - \cdots - x_n^2 = 0 \] gegeben ist, so verstreichen von \(n\) conjugirten Richtungen stets \(\alpha\) auf der einen und \(n - \alpha\) auf der andern Seite der Kegelfläche. Ein zweiter Beweis entspringt durch Anwendung der Kronecker'schen Modulsysteme. Sind \(a_{ik}, \alpha_{i \kappa}\) für \[ i = 0, 1, \dots, m; \quad k = 1, 2, \dots, n; \quad \kappa = 1, 2, \dots, m \] willkürliche Parameter, und wird \[ \begin{aligned} & \sum_k a_{ik} a_{jk} = s_{ij}, \quad \quad (i, j = 0, 1, \dots, m; \;k = 1, 2, \dots, n)\\ & \sum_{\kappa} \alpha_{i \kappa} \alpha_{j \kappa} = \sigma_{ij}, \quad \;\;(i, j = 0, 1, \dots, m; \; \kappa = 1, 2, \dots, m)\\ & s_{ij} - \sigma_{ij} = -t_{ij} \quad \quad\quad (i, j = 0, 1, \dots, m)\end{aligned} \] gesetzt, so ist die Determinante \(| \sigma_{ij} = 0 |\). Hat nun \(\varepsilon_{ij}\) die Bedeutung 0 bezüglich 1, je nachdem \(i \neq j\) oder \(i = j\) ist, so folgt hieraus nach dem Modulsystem \((t_{ij})\), wo \(i, j\) alle von einander verschiedenen Wertepaare durchlaufen sollen, \(| s_{ij} + \varepsilon_{ij} t_{ij} | \equiv 0\). Diese Congruenz lässt sich in die Gestalt \[ - | \alpha_{ij} |^2 t_{00} \equiv t_{11} t_{22} \dots t_{mm} \left\{ s_{00} + \sum_i \frac{1}{t_{ii}} \left| \begin{matrix} s_{00} & s_{0i}\\ s_{i0} & s_{ii} \end{matrix} \right| + \sum_{i, j} \frac{1}{t_{ii} t_{jj}} \left| \begin{matrix} s_{00} & s_{0i} & s_{0j}\\ s_{i0} & s_{ii} & s_{ij}\\ s_{j0} & s_{ji} & s_{jj} \end{matrix} \right| + \cdots \right\} \] bringen, d. h. es ist \(- | \alpha_{ij} |^2 t_{00}\) nach dem Modulsystem \((t_{ij})\) als ganze Function von \(t_{11}, t_{22}, \dots, t_{mm}\) darstellbar, deren Coefficienten die Summen von Quadraten sind. Verschwinden die einzelnen Elemente \(t_{ij}\) des Modulsystems, während alle \(t_{11}, t_{22}, \dots, t_{mm}\) positiv sind, so ist folglich \(t_{00}\) negativ; dieser Satz ist mit dem anfangsausgesprochenen Satze identisch. Im Anschluss an diese Entwickelung wird ein einfacher arithmetischer Beweis des Trägheitsgesetzes der quadratischen Formen dargelegt.