On the connexion between recurring formulae involving sums of divisors and the corresponding formulae involving differences between sums of even and uneven divisors. (Q1528766)

Wenn \(\zeta(n)\) den Ueberschuss der Summe der ungeraden Teiler von \(n\) über die Summe der geraden Teiler bedeutet, und wenn man dem Symbol \(\zeta(0)\), das vorkommt, wenn \(n\) eine Triangularzahl ist, den Wert \(-n\) beilegt, so ist (Lond. M. S. Proc. XV. 110): \[ \zeta(n)+\zeta(n-1)+\zeta(n-3)+\zeta(n-6)+\zeta(n-10)+\cdots =0. \] Die entsprechende Formel, welche sich auf die Summen der Teiler bezieht, lautet (Quart. J. XIX. 220): \[ \sigma(n)-3\sigma(n-1)+5\sigma(n-3)- 7\sigma(n-6)+9\sigma(n- 10)- \cdots =0, \] worin \(\sigma(n)\) die Summe aller Divisoren von \(n\) bedeutet und \(\sigma(0) = \frac{1}{3}n\) ist. In dem gegenwärtigen Aufsatze wird gezeigt, dass jene beiden Formeln aus einem einzigen allgemeinen Theorem herleitbar sind, das sich auf die wirklichen Divisoren der Zahlen \(n\), \(n-1\), \(n-3\), \dots bezieht, und es ist hauptsächlich interessant zu beobachten, wie es kommt, dass die Coefficienten in beiden Fällen die obigen Formen annehmen. Das allgemeine Theorem (mitgeteilt in dem Artikel ``Relations between the divisors of the first \(n\) natural numbers'', Lond. M. S. Proc. XXII, F. d. M. XXIII. 1891. 177, JFM 23.0177.01) wird wie folgt festgestellt: Man bezeichne mit \(G_r\{\varphi(d),\psi(d),\dots \}\) die Gruppe der Zahlen: \[ \begin{aligned} & \varphi(1),\varphi(d_1),\varphi(d_2),\dots,\varphi(d_f);\\ & \psi(1),\psi(d_1),\psi(d_2),\dots,\psi(d_f);\\ &\hdotsfor1,\end{aligned} \] wo \(1,d_1,d_2,\dots,d_f\) alle Divisoren von \(r\), dem Suffix von \(G\), sind; dann heben sich die durch die Formel \[ G_n(d)-G_{n-1}(d,d\pm 1)+G_{n-3}(d,d\pm 1,d\pm 2)-G_{n-g}(d, d\pm 1, d\pm 2, d\pm 3)+\cdots \] gegebenen Zahlen alle gegenseitig fort, wenn \(n\) nicht eine Triangularzahl ist. Ist aber \(n\) eine Triangularzahl \(\frac 12 g(g+1)\), so verbleiben ungehoben: \[ \text{eine 1,\quad zwei }2^{\text{ten}},\quad \text{drei }3^{\text{ten}},\quad g\text{-mal }g, \] indem diese Zahlen das positive oder das negative Zeichen haben, je nachdem \(g\) ungerade oder gerade ist. Es ist einleuchtend, dass die Summe der Zahlen in der ersten Gruppe die Summe der Divisoren von \(n\) ist, in der zweiten Gruppe dreimal die Summe der Divisoren von \(n-1\), u. s. w. Mithin ist \(\sigma(n)-3\sigma(n-1)+\cdots\) Null, wenn \(n\) nicht eine Triangularzahl ist; dagegen gleich \[ (-1)^{g-1}(1^2+2^2+3^2+\cdots+g^2),\quad \text{d.h.}\quad (-1)^{g-1}.\tfrac12 g(g+1), \] wenn \(n\) die Triangularzahl \(\frac12 g(g+1)\) ist. Da nun der Coefficient von \(\sigma(0)\), wenn dies vorkommt, \((-1)^g(2g+1)\) ist, so kann der \(\sigma\)-Ausdruck für alle Werte von \(n\) der Null gleich gesetzt werden, wenn \(\sigma(0)=\frac16 g(g+1)= \frac13 n\). Die Tabulirung der Gruppen, wie sie in dem Aufsatze gegeben wird, macht den Beweis ausserordontlich einfach, sowohl für den \(\zeta\)-Ausdruck wie für den zuerst aufgestellten. Abänderungen an diesen Formeln werden in dem letzten Teile des Artikels betrachtet.